Trắc nghiệm Phương trình mũ- P1

Đăng bởi Hoanglien vào

Câu 01: Phương trình ${{\log }_{2016}}m=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}-5x-\frac{2}{3}$ (m là tham số) có một nghiệm thì giá trị của là?

A. ${{2016}^{-34}}<m<{{2016}^{2}}.$

B. $\left[ \begin{array}{l}
m > {2016^2}\\
m < {2016^{ – 34}}
\end{array} \right.$

C. $\left[ \begin{array}{l}
m > {2016^2}\\
0 < m < {2016^{ – 34}}
\end{array} \right.$

D. $\left( {{2016}^{2}};+\infty  \right).$

Hướng dẫn.

 Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}-5x-\frac{2}{3}$ trên tập R,

$ f’\left( x \right) = {x^2} – 4x – 5$ $ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = 5
\end{array} \right.$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên R. Thu được kết quả

$\left[ \begin{array}{l}
{\log _{2016}}m > 2\\
{\log _{2016}}m < – 34
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > {2016^2}\\
0 < m < {2016^{ – 34}}
\end{array} \right.$

Chọn đáp án  C

Câu 02: Cho phương trình ${{3}^{x}}{{.4}^{{{x}^{2}}}}=1\,\,\left( * \right)$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. $\left( * \right)\Leftrightarrow x+2{{x}^{2}}{{\log }_{3}}2=0.$

B. $\left( * \right)\Leftrightarrow x\ln 3+{{x}^{2}}\ln 4=0.$                

C.$\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{4}}3=0.$                        

D. $\left( * \right)\Leftrightarrow 1+x{{\log }_{3}}4=0.$

Hướng dẫn

Xét A. Ta có ${{3}^{x}}{{.4}^{{{x}^{2}}}}=1\,\,\left( * \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}{{.4}^{{{x}^{2}}}} \right)=0\Leftrightarrow x+2{{x}^{2}}{{\log }_{3}}2=0$. Loại đáp án A

Xét B. Ta có ${{3}^{x}}{{.4}^{{{x}^{2}}}}=1\,\,\left( * \right)\Leftrightarrow \ln \left( {{3}^{x}}{{.4}^{{{x}^{2}}}} \right)=0\Leftrightarrow x\ln 3+{{x}^{2}}\ln 4=0$. Loại đáp án B

Xét C. Ta có ${{3}^{x}}{{.4}^{{{x}^{2}}}}=1\,\,\left( * \right)\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( {{3}^{x}}{{.4}^{{{x}^{2}}}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{4}}3=0$. Loại đáp án C

Chọn đáp án  D

Câu 03: Tìm m để phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt: ${{4}^{{{x}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}+2}}+6=m$

A. $2<m<3$          B. $m>3$                      C. $m=2$                      D. $m=3$

Hướng dẫn

Ta có  $pt\Leftrightarrow {{2}^{2{{x}^{2}}}}-{{2.2}^{{{x}^{2}}}}+6=m$

Đặt ${{2}^{{{x}^{2}}}}=a$. Nhận thấy để phương trình có đúng ba nghiệm thì phương trình có một nghiệm ${{x}^{2}}=0$, một nghiệm ${{x}^{2}}>0$. Tức là một nghiệm $a=1$và một nghiệm $a>1$

Khi đó $1-4.1+6=m\Leftrightarrow m=3$.

Với \$m=3$ thì phương trình

$\Leftrightarrow {{2}^{2{{x}^{2}}}}-{{4.2}^{{{x}^{2}}}}+3=0$  $\Leftrightarrow \left( {{2}^{{{x}^{2}}}}-1 \right)\left( {{2}^{{{x}^{2}}}}-3 \right)=0\,\left( TM \right)$.

.Chọn đáp án  D

Câu 04: Tìm để hàm số $y=\frac{{{2}^{x}}+{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}-m{{.3}^{x}}}$ đồng  biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$.

A. $m\in \left( -1;\frac{2}{3} \right]\cup \left[ \frac{3}{2};+\infty \right)$.               

B. $m\in \left( -1;+\infty  \right)$.               

C. $m\in \left[ -1;\frac{2}{3} \right)\cup \left[ \frac{3}{2};+\infty \right).$                      

D. $m\in \left( -1;\frac{2}{3} \right)\cup \left( \frac{3}{2};+\infty  \right).$

Hướng dẫn

Biến đổi hàm số $y=\frac{{{2}^{x}}+{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}-m{{.3}^{x}}}=\frac{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}+1}{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}-m}$.

Xét hàm số trên khoảng $\left( -1;1 \right)$. Tính $y’=\frac{-m-1}{{{\left( {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}-m \right)}^{2}}}{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}\ln \frac{2}{3}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ khi đạo hàm $y’ > 0,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– m – 1 < 0\\
x = {\log _{\frac{2}{3}}}m \notin \left( { – 1;1} \right)
\end{array} \right.$

Chọn  đáp án A

Câu 5: Bất phương trình ${\log _x}[{\log _2}({4^x} – 6)] \le 1$ có nghiệm là

A. ${{\log }_{2}}\sqrt{3}<x<{{\log }_{2}}\sqrt{7}.$

B. ${{\log }_{2}}2\sqrt{3}<x<{{\log }_{2}}9.$

C.${{\log }_{2}}3<x<{{\log }_{2}}2\sqrt{3}.$

D. ${{\log }_{2}}\sqrt{7}<x<{{\log }_{2}}3.$

Hướng dẫn

Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l}
0 < x \ne 1\\
{\log _2}\left( {{4^x} – 6} \right) > 0\\
{4^x} – 6 > 1
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow x > 1(*)$

$bpt \Leftrightarrow {\log _x}[{\log _2}({4^x} – 6)] \le 1$

$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{4^x} – 6} \right) \le x$

$ \Leftrightarrow {4^x} – 6 \le {2^x}$

$ \Leftrightarrow – 2 < {2^x} < 3$

$ \Leftrightarrow x < {\log _2}3$

$ \Leftrightarrow x > {\log _4}7$

Kết hợp điều kiện (*) ta nhận: ${{\log }_{2}}\sqrt{7}<x<{{\log }_{2}}3$.

Chọn đáp án  D

Câu 6: Cho ${{\log }_{3}}2,{{\log }_{3}}5,{{\log }_{3}}x$  là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tập các giá trị của là một khoảng có độ dài là :

A. $\frac{48}{5}.$

B. $\frac{2}{15}.$

C. $\frac{15}{2}.$

D. $\frac{5}{48}.$

Hướng dẫn.

Ta có ${{\log }_{3}}2,{{\log }_{3}}5,{{\log }_{3}}x$ là độ dài ba cạnh của một tam giác khi

         ${{\log }_{3}}5-{{\log }_{3}}2<{{\log }_{3}}x<{{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{5}{2}<{{\log }_{3}}x<{{\log }_{3}}10\Leftrightarrow \frac{5}{2}<x<10$.

Vậy tập giá trị của là một khoảng $10-\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$.

Chọn đáp án  C

Câu 7: Tìm m để phương trình ${{\log }_{2}}({{x}^{3}}-3x)=m$ có ba nghiệm thực phân biêt.

A. $-1<m<1$

B. $m<1$                              

C. $-2<m<2$                 

D. $-\frac{1}{2}<m<1$

Hướng dẫn.

Phương trình ${{\log }_{2}}({{x}^{3}}-3x)=m\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x={{2}^{m}}$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ trên $\mathbb{R}$.

Suy ra phương trình có ba nghiệm thực phân biệt khi $-2<{{2}^{m}}<2\Leftrightarrow m<1$.

Chọn đáp án  B

Câu 8: Để phương trình \[{{9}^{x}}-{{2.3}^{x}}+2={{\log }_{\frac{1}{2}}}m\] có nghiệm  $x\text{ }\in \left( -\text{ }1;2 \right)$  thì m thỏa mãn

A.  $\frac{1}{{{2}^{65}}}<m\le \frac{1}{2}$

B. $~\frac{1}{{{2}^{45}}}<m<{{2}^{-\frac{13}{9}}}$        

C. $\frac{1}{{{2}^{45}}}<m\le \frac{1}{2}$                   

D. $~\frac{1}{{{2}^{65}}}<m<{{2}^{-\frac{13}{9}}}$

Hướng dẫn.

Đặt $t={{3}^{x}}$, ta có phương trình ${{t}^{2}}-2.t+2={{\log }_{\frac{1}{2}}}m$. Khi đó $x\in \left( -1;2 \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{3};9 \right)$.

Ta có ${{9}^{x}}-{{2.3}^{x}}+2={{\log }_{\frac{1}{2}}}m$ có nghiệm $x\in \left( -1;2 \right)$ khi ${{t}^{2}}-2.t+2={{\log }_{\frac{1}{2}}}m$ có nghiệm  $\text{t }\in \left( \frac{1}{3};9 \right)$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t+2$ trên khoảng $\left( \frac{1}{3};9 \right)$ ta có kết quả

$1\le {{\log }_{\frac{1}{2}}}m<65\Leftrightarrow \frac{1}{{{2}^{65}}}<m\le \frac{1}{2}$.

Chọn đáp án  A

Câu 9: Với giá trị nào của m để bất  phương trình: ${{9}^{x}}-2(m+1){{.3}^{x}}-3-2m>0$  có nghiệm đúng với mọi số thực $x$.

A. $m\ne 2$

B. $m\in \varnothing $

C. $m\le -\frac{3}{2}$

D. $m<-\frac{3}{2}$

Hướng dẫn

Đặt $t={{3}^{x}},t>0$, ta có bất phương trình ${{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t-3-2m>0$.

Khi đó: ${{9}^{x}}-2(m+1){{.3}^{x}}-3-2m>0$ nghiệm đúng với mọi $x$ thì bất phương trình ${{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t-3-2m>0$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left( 0;+\infty  \right)$.

Hay bất phương trình $\left( t+1 \right)\left( t-3-2m \right)>0$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left( 0;+\infty  \right)$.

Kết quả $m\le -\frac{3}{2}$.

Chọn đáp án  C

Câu 10: Tìm giá trị của m để bất  phương trình: ${{9}^{x}}-m{{.3}^{x+1}}-4-3m\le 0$  có nghiệm:

A. $m\ne -\frac{4}{3}$

B. $m>-\frac{4}{3}$

C. $m\in \varphi $

D. $m$ tùy ý

Hướng dẫn.

Đặt $t={{3}^{x}},t>0$, ta có bất phương trình ${{t}^{2}}-mt-4-3m\le 0$.

Khi đó: ${{9}^{x}}-3m{{.3}^{x}}-4-3m\le 0$  có nghiệm $x$thì ${{t}^{2}}-3mt-4-3m\le 0$ có nghiệm $t\in \left( 0;+\infty  \right).$

Hay bất phương $3m\ge \frac{{{t}^{2}}+4}{t+1}$ có nghiệm  $t\in \left( 0;+\infty  \right)$.

Xét hàm số $f\left( t \right)$trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$. Kết quả $m>-\frac{4}{3}$.

Chọn đáp án  B

Câu 11: Tìm m để bất phương trình $m{{.9}^{x}}-(2m+1){{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0$ có nghiệm với mọi$x\in \left( 0;1 \right]$

A. $m\le 6$                                                                

B. $-6\le m\le -4$                   

C $m\ge -4$

D. $m\le -6$

Hướng dẫn.

Biến đổi phương trình $m{{.9}^{x}}-(2m+1){{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0\Leftrightarrow m{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2x}}-\left( 2m-1 \right){{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}+m\le 0$

Đặt $t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}},t>0$, ta có bất phương trình $m{{t}^{2}}-\left( 2m-1 \right)t+m\le 0$ (*).

Khi đó bất  phương trình $m{{.9}^{x}}-(2m+1){{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0$ có nghiệm với mọi $x\in \left( 0;1 \right]$thì bất phương trình $m{{t}^{2}}-\left( 2m-1 \right)t+m\le 0$ có nghiệm với mọi  $t\in \left( 1;\frac{3}{2} \right]$.

Xét $t\in \left( 1;\frac{3}{2} \right]$ thì bất phương trình $(*)\Leftrightarrow m\le \frac{-t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$ .

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{-t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$ trên  $\left( 1;\frac{3}{2} \right]$. Kết quả $m\le -6$.

Chọn đáp án  D

Câu 12: Tìm m để phương trình ${{\log }_{0,5}}\left( m+6x \right)+{{\log }_{2}}\left( 3-2x-{{x}^{2}} \right)=0$ có nghiệm duy nhất :

A. $m\ge 18$

B. $-6<m<18$

C.$-6\le m\le 18$

D. $m\le -6$

Hướng dẫn

Biến đổi  phương trình

${\log _{0,5}}\left( {m + 6x} \right) + {\log _2}\left( {3 – 2x – {x^2}} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {m + 6x} \right) = {\log _2}\left( {3 – 2x – {x^2}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 – 2x – {x^2} > 0\\
m + 6x = 3 – 2x – {x^2}
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 3 < x < 1\\
– {x^2} – 8x + 3 = m
\end{array} \right.$

Xét hàm số  $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-8x+3$   trên $\left( -3;1 \right)$

Ta được kết quả  $-6<m<18$.

Chọn đáp án  B

Câu 13: Tìm m để phương trình $\log _{3}^{2}x+2m\left( 2+{{\log }_{3}}x \right)+4=m\left( 1+{{\log }_{3}}x \right)$có nghiệm $x\in \left[ 1;9 \right]$?

A. $-\frac{8}{5}\le m\le -\frac{4}{3}$

B. $-\frac{8}{5}\le m\le 2\sqrt{13}-6$                 

C.$-\frac{4}{3}\le m\le 2\sqrt{13}-6$

D. $-\frac{8}{5}\le m\le 2\sqrt{13}+6$

Hướng dẫn

Đặt $t={{\log }_{3}}x$, với $x\in \left[ 1;9 \right]$thì $t\in \left[ 0;2 \right]$

Phương trình có dạng ${{t}^{2}}+2m\left( 2+t \right)+4=m\left( 1+t \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+mt+3m+4=0$

Với $t\in \left[ 0;2 \right]$phương trình tương đương $m=\frac{-{{t}^{2}}-4}{t+3}$

Xét hàm số $y=\frac{-{{t}^{2}}-4}{t+3}$ trên $t\in \left[ 0;2 \right]$ta thu được kết quả $-\frac{8}{5}\le m\le 2\sqrt{13}-6$

Chọn đáp án B

Câu 14: Với giá trị nào của m để phương trình: ${{9}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-(m+2){{.3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ có nghiệm

A. $m\le 4$

B. $m\ge -\frac{1}{2}$

C. $4\le m\le \frac{64}{7}$

D. $m\in \left( -1;1 \right)$

Hướng dẫn

Đặt $t={{3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$ với $x\in \left[ -1;1 \right]$ thì $\sqrt{1-{{x}^{2}}}\in \left[ 0;1 \right]$ nên $t={{3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\in \left[ 3;9 \right]$

Phương trình có dạng ${{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+2m+1=0$

Với điều kiện của $t$ ta rút ra được $m=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}=f\left( t \right)$

Phương trình có nghiệm khi $\underset{\left[ 3;9 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\le m\le \underset{\left[ 3;9 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)$

Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $f\left( t \right)$ trên $\left[ 3;9 \right]$ ta được $4\le m\le \frac{64}{7}$

Chọn đáp án C

Câu 15: Xác định m để $y’\left( -e \right)=m-\frac{4}{9e}$, biết $y=\ln \left( 2{{x}^{2}}+{{e}^{2}} \right)$

A. $\frac{8e}{9}$

B. $\frac{8}{9e}$

C. $ – \frac{8}{{9e}}$

D. $\frac{4}{{9e}}$

Hướng dẫn

Tìm được $y’=\frac{4x}{2{{x}^{2}}+{{e}^{2}}}\Rightarrow y’\left( -e \right)=\frac{-4e}{3{{e}^{2}}}=-\frac{4}{e}$

Theo bài $\frac{-4}{3e}=m-\frac{4}{9e}\Rightarrow m=-\frac{8}{9e}$

Chọn đáp án C

 Câu 16: Một người gửi số tiền 1 tỷ đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% năm. Biết rằng nếu không  rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm thì số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu. Nếu không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi thì sau 5 năm người đó nhận được số tiền là (kết quả làm tròn đến hàng trăm)

A.1 338 225 600.      B. 1 350 738 000.             C. 1 298 765 500.       D. 1 199 538 800.

Hướng dẫn

Gọi A là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất

Áp dụng công thức lãi kép, số tiền người đó thu được sau $n$ năm là ${{A}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}$

Áp dụng với $A=1.000.000.000$(đồng) và $r=0,06$ và $n=5$ ta có

${{A}_{5}}=1.000.000.000{{\left( 1,06 \right)}^{5}}=1.338.225.578$ (đồng)

Làm tròn ta được 1 338 225 600 (đồng)

Chọn đáp án  A

Câu 17: Nếu $f\left( x \right)=\frac{{{4}^{x}}}{\ln 4}$ thì $f’\left( x+2 \right)+2f’\left( x-1 \right)$ bằng

A. $\frac{33}{2}\ln 4f\left( x \right)$

B. $16\ln 4f\left( x \right)$

C. $\frac{65}{4}\ln 4f\left( x \right)$

D. $24\ln 4f\left( x \right)$

Hướng dẫn

Tính đạo hàm $f’\left( x \right) = {4^x}$ $ \Rightarrow f’\left( {x + 2} \right) + 2f’\left( {x – 1} \right) = {4^{x + 2}} + {2.4^{x – 1}}$ $ = {4^x}\left( {16 + \frac{1}{2}} \right)$ $ = \frac{{33}}{2}\ln 4f\left( x \right)$

Chọn đáp án A

Câu 18: Cho phương trình $m{{.2}^{{{x}^{2}}-5x+6}}+{{2}^{1-{{x}^{2}}}}={{2.2}^{6-5x}}+m\left( 1 \right)$. Tìm $m$ để phương trình có $4$nghiệm phân biệt.

A. $m\in \left( 0;2 \right)$

B. $m\in \left( 0;+\infty  \right)$      

C. $m\in \left( 0;2 \right)\backslash \left\{ \frac{1}{8};\frac{1}{256} \right\}$

D. $m\in \left( -\infty ;2 \right)\backslash \left\{ \frac{1}{8};\frac{1}{256} \right\}$

Hướng dẫn

Viết lại phương trình (1) dưới dạng: $m{.2^{{x^2} – 5x + 6}} + {2^{1 – {x^2}}} = {2.2^{6 – 5x}} + m$ $ \Leftrightarrow m{.2^{{x^2} – 5x + 6}} + {2^{1 – {x^2}}} = {2^{\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) + \left( {1 – {x^2}} \right)}} + m$ $ \Leftrightarrow m{.2^{{x^2} – 5x + 6}} + {2^{1 – {x^2}}} = {2^{\left( {{x^2} – 5x + 6} \right)}}{.2^{\left( {1 – {x^2}} \right)}} + m$

Đặt

$\left\{ \begin{array}{l}
u = {2^{{x^2} – 5x + 6}}\\
v = {2^{1 – {x^2}}}
\end{array} \right.,\left( {u,v > 0} \right)$.

Khi đó phương trình tương đương với

$mu + v = uv + m \Leftrightarrow \left( {u – 1} \right)\left( {v – m} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 1\\
v = m
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^{{x^2} – 5x + 6}} = 1\\
{2^{1 – {x^2}}} = m
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 3\\
{2^{1 – {x^2}}} = m\left( * \right)
\end{array} \right.$

Vậy phương trình có $4$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x\ne 2$ và $x\ne 3$.

Khi đó điều kiện là:

$\left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
1 – {\log _2}m > 0\\
1 – {\log _2}m \ne 4\\
1 – {\log _2}m \ne 9
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < 2\\
m \ne \frac{1}{8}\\
m \ne \frac{1}{{256}}
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow m \in \left( {0;2} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{8};\frac{1}{{256}}} \right\}.$

Vậy $m\in \left( 0;2 \right)\backslash \left\{ \frac{1}{8};\frac{1}{256} \right\}$.

Chọn đáp án C

Câu 19: Hai phương trình ${{3}^{x}}+{{5}^{x}}=2-6x$  và ${{3}^{x}}+{{5}^{x}}=2+6x\left( 2 \right)$ có số nghiệm lần lượt là $m$ và $n$. Tính $m+n$.

A. $m+n=1$.

B.  $m+n=2$.

C.  $m+n=3$.

D.  $m+n=4$.

Hướng dẫn

+ Xét phương trình ${{3}^{x}}+{{5}^{x}}=2-6x$ (1)  có vế trái là 1 hàm số đồng biến trên$\mathbb{R}$ , vế phải là 1 hàm số nghịch biến trên R nên (1) có tối đa 1 nghiệm. Mà $x=1$ là 1 nghiệm của (1) nên phương trình (1) có số nghiệm là $m=1.$

+ Xét phương trình ${{3}^{x}}+{{5}^{x}}=2+6x\left( 2 \right)$, tương đương với $f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{5}^{x}}-2-6x=0$

Ta có

$f’\left( x \right) = {3^x}\ln 3 + {5^x}\ln 5 – 6$

$f”\left( x \right) = {3^x}{\ln ^2}3 + {5^x}{\ln ^2}5 > 0{\rm{ }}\forall x \in R$

Do đó phương trình $f\left( x \right)=0$ có tối đa 2 nghiệm trên $\mathbb{R}$. Mà $f\left( 1 \right)=0,\text{ }f\left( 0 \right)=0$ nên phương trình (2) có số nghiệm là $n=2$ .

+ Vậy $m+n=3$

Chọn đáp án C

Câu 20: Theo tổng cục thống kê, năm 2003 Việt Nam có 80 902 400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì năm 2016 Việt Nam sẽ có số người khoảng (Chọn đáp án gần đúng nhất):

A. 97 802 733.

B. 96 247 183.

C. 95 992 878.

D. 94 432 113 .

Hướng dẫn

Gọi $A$ là số dân ban đầu, $r$ là tỉ lệ gia tăng dân số

Áp dụng công thức gia tăng dân số ( giống công thức lãi kép), số dân sau $n$ năm là ${{A}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}$

Áp dụng với $A=80.902.400$ và $r=0,0147$ ta có ${{A}_{13}}=80902400{{\left( 1+0,0147 \right)}^{13}}=97.802.732,84$

Do đó ta chọn được đáp án A với 97 802 733 (người).

Chọn đáp án A

Câu 21. Dân số một nước năm 2016 là 80 triệu người, mức tăng dân số là 1,1% mỗi năm. Hỏi đến năm bao nhiêu dân số nước đó là 99566457 người

A. 2036.

B. 2026.

C. 2038.

D. 2040.

Hướng dẫn

Gọi $A$ là số dân ban đầu, $r$ là tỉ lệ gia tăng dân số

Áp dụng công thức gia tăng dân số ( giống công thức lãi kép), số dân sau $n$ năm là ${{A}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}$

Áp dụng với $A=80.000.000$ và $r=0,011$ ta có ${{A}_{n}}=99.566.457$ ta có

$99566457=80000000{{\left( 1,011 \right)}^{n}}\Leftrightarrow n={{\log }_{1,011}}\frac{99566457}{80000000}\approx 20$ (năm)

Vậy đến năm 2016+20=2036 thì dân số đạt mức yêu cầu.

Do đó ta chọn được đáp án A

Câu 22:  Với cùng một dây tóc các bóng đèn điện có hơi bên trong có độ sáng cao hơn bóng đèn chân không bởi vì nhiệt độ dây tóc là khác nhau. Theo một định luật vật lý, độ sáng toàn phần của một vật thể bị nung đến trắng tỷ lệ với lũy thừa mũ 12 của nhiệt độ tuyệt đối của nó (độ K). Một bóng đèn hơi với nhiệt độ dây tóc là có độ sáng lớn hơn bóng đèn chân không có nhiệt độ dây tóc là  bao nhiêu lần ?

A. Khoảng 5 lần.

B. Khoảng 6 lần.

C. Khoảng 7 lần.

D. Khoảng 8 lần.

Hướng dẫn

Theo giả thiết công thức tính độ sáng là $A={{A}_{0}}.{{t}^{12}}$ với ${{A}_{o}}$ là hằng số và $t$ là nhiệt độ tuyệt đối

Độ sáng của bóng đèn hơi là ${{A}_{1}}={{A}_{0}}{{.2500}^{12}}$

Độ sáng của bóng đèn chân không là ${{A}_{2}}={{A}_{0}}{{.2000}^{12}}$

Vậy $\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}={{\left( \frac{2500}{2200} \right)}^{12}}=4.64$ (lần)

Chọn đáp số A

Câu 23: Ông An vay ngân hàng với số tiền $600$ triệu đồng, với lãi suất $10{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/năm và điều kiện kèm theo hợp đồng giữa Ông An và ngân hàng là lãi suất cộng dồn hàng năm ( Tiền lãi năm trước cộng dồn làm vốn sinh lãi cho năm sau). Vậy hỏi sau 2 năm số tiền Ông An phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu để kết thúc hợp đồng vay vốn?

A.$726$ triệu đồng

B. $716$triệu đồng

C. $706$triệu đồng

D. $736$ triệu đồng

Hướng dẫn

Số tiền Ông An nợ ngân hàng sau một năm là $600+600.10{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$ triệu đồng

Sang cuối năm thứ hai thì Ông An nợ ngân hàng là $\left( 600+600.10{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}} \right)+\left( 600+600.10{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}} \right)10{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}=726$ triệu đồng. Hoặc áp dụng hình thức lãi kép ta có $600{{\left( 1+10{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}} \right)}^{2}}$

Chọn đáp án A

Câu 24: Vào ngày 1/1, Ông An mua một ngôi nhà với giá mua là $m$triệu đồng với sự thỏa thuận thanh toán như sau: Trả ngay $10{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$ số tiền. Số còn lại trả dần hàng năm bằng nhau trong 5 năm song phải chịu lãi suất $6{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/năm của số nợ còn lại ( theo phương thức lãi kép ). Thời điểm tính ra lãi hàng năm là cuối năm (31/12). Số tiền phải trả hàng năm là $42,731$ triệu đồng để lần cuối cùng là vừa hêt nợ. Vậy giá trị của $m$gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. $190$ triệu đồng

B. $180$ triệu đồng

C. $200$ triệu đồng

D. $210$ triệu đồng

Hướng dẫn

+) Giá mua là $m$ triệu đồng

+) Số trả ngay : $m.10{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$ triệu đồng

+) Số còn phải trả: $m.90{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$ triệu đồng

+) Số còn phải trả dần trong 5 năm là $0,9m$

Với lãi suất phải trả $6{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ năm. Số tiền phải trả bao gồm cả gốc và lãi vào cuối mỗi năm được xác định như sau: \\

$0,9m{{\left( 1+0,06 \right)}^{5}}=42,731\frac{\left[ {{\left( 1+0,06 \right)}^{5}}-1 \right]}{0,06}\Rightarrow m\approx 200$

Chọn đáp án C

Câu 25: Để phát  triển kinh tế Ông An đã làm hợp đồng vay vốn ngân hàng số tiền là $150$ triệu đồng với lãi suất $m{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/tháng. Ông An muốn hoàn lại nợ cho ngân hàng theo cách sau, đúng một tháng kể từ ngày Ông An vay vốn Ông An bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau một tháng, số tiền hoàn nợ mỗi tháng là như nhau và cách nhau 5 tháng kể từ ngày Ông An bắt đầu ký hợp đồng vay vốn, số tiền Ông An phải trả cho ngân hàng là $30,072$ triệu đồng biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian Ông An hoàn nợ. Vậy giá trị $m$ gần đúng với giá trị nào sau đây?

A. $0,09{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ tháng

B. $0,08{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ tháng

C. $0,07{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ tháng

D. $0,1{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ tháng

Hướng dẫn

Áp dụng công thức tính lãi suất trả hàng tháng theo định kỳ “ Vay A đòng lãi $r{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ tháng hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu để sau $n$ tháng thì trả hết nợ (Trả tiền định kỳ vào cuối tháng)”

Ta có công thức sau : $a = \frac{{Ar.{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} – 1}}$ $ \Leftrightarrow 30,072 = \frac{{150.{m^0}{/_0}.{{\left( {1 + {m^0}{/_0}} \right)}^5}}}{{{{\left( {1 + {m^0}{/_0}} \right)}^5} – 1}}$ $ \Rightarrow m \approx {0,08^0}{/_0}$

Chọn đáp án B

Câu 26: Tìm $m$ để phương trình $-{{27}^{x}}+{{3}^{2x+1}}+{{3}^{x+2}}={{3}^{m}}$có hai nghiệm phân biệt .

A. $m<3$

B. $0<m<3$                          

C. $m\ge 3$                           

D. $m<0$

Hướng dẫn

Đặt $t={{3}^{x}},t>0$ ta có phương trình $-{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}+9t={{3}^{m}}$.

Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}+9t$trên $\left( 0;+\infty  \right)$.

Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó có kết quả $0<{{3}^{m}}<27\Leftrightarrow m<3$

Chọn đáp án A

Câu 27: Để đầu tư dự án trồng rau sạch theo công nghệ mới , Ông An đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng với số tiền $800$triệu đồng với lãi suất $x{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ năm, điều kiện kèm theo của hợp đồng là số tiền lãi tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau, sau hai năm thành công với dự án rau sạch của mình , Ông An đã thanh toán hợp đồng ngân hàng số tiền là $1.058$ triệu đồng , hỏi lãi suất trong hợp đồng giữa Ông An và ngân hàng là bao nhiêu?

A. $12{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ năm

B. $13{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ năm

C. $14{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ năm

D. $15{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/ năm

Hướng dẫn

Ta có: tiền lãi tháng thứ nhất tiếp tục được làm vốn sinh ra lãi tháng tiếp theo, nó được hiểu là lãi sinh lãi. Vậy ta có công thức tính như sau

Số tiền phải trả =Số vốn vay.${{\left[ 1+x{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}} \right]}^{k}}$. Từ đó có $1058=800{{\left[ 1+x{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}} \right]}^{2}}\Rightarrow x{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}=15{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$.

Chọn đáp án D

Câu 28: Để mở rộng sản xuất Ông An đã làm hợp đồng vay vốn ngân hàng với số tiền là $m$triệu đồng với lãi suất $12{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/năm và Ông chọn hình thức thanh toán cho ngân hàng là sau $24$ tháng kể từ ngày ký hợp đồng cả vốn lẫn lãi (biết rằng tiền lãi tháng trước được cộng dồn làm vốn đẻ lãi tháng sau) khi kết thúc hợp đồng Ông An đã phải chi trả cho ngân hàng số tiền là $188,16$ triệu đồng . Hỏi số tiền Ông An đã ký hợp đồng mượn ngân hàng là bao nhiêu?

A.$150$ triệu

B. $140$ triệu

C. $160$ triệu                    

D.$170$ triệu

Hướng dẫn

Ta có: tiền lãi tháng thứ nhất tiếp tục được làm vốn sinh ra lãi tháng tiếp theo, nó được hiểu là lãi sinh lãi. Vậy ta có công thức tính như sau

Số tiền phải trả =Số vốn vay.${{\left[ 1+x{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}} \right]}^{k}}$. Từ đó có $188,16=m{{\left[ 1+12{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}} \right]}^{2}}\Rightarrow m=150$.

Chọn đáp án A

Câu 29. Số nghiệm của hệ phương sau trình bằng bao nhiêu?

$\left\{ \begin{array}{l}
y = 1 + {\log _2}x\\
{x^y} = 64
\end{array} \right.$

A.$1.$

B. $2.$

C.$3.$

D.$4.$

Hướng dẫn

Điều kiện $x>0$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
y = 1 + {\log _2}x\\
{x^y} = 64
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 1 + {\log _2}x\\
{\log _2}{x^y} = {\log _2}64
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}x = y – 1\\
y{\log _2}x = 6
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {y^2} – y – 6 = 0$

$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = – 2\\
y = 3
\end{array} \right. \Rightarrow $

Nghiệm $\left( 4;3 \right)$ hoặc $\left( \frac{1}{8};-2 \right)$. Vậy số nghiệm của hệ là $2$.

Chọn đáp án B

Câu 30: Ông An gửi tiết kiệm ngân hàng với vốn đầu tư ban đầu là $145$triệu, thời hạn thu hồi vốn $7$ năm, lãi suất $2$ năm đầu là $10{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/năm, lãi suất $3$năm sau là $12{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/năm, lãi suất $2$ năm cuối là $11{\scriptstyle{}^{0}/{}_{0}}$/năm. Số tiền thu được gồm cả gốc và lãi sau $7$ năm gửi tiết kiệm là $m$ triệu đồng, Giá trị nào gần đúng với giá trị của $m$ nhất:

A. $300$triệu đồng.

B. $305$triệu đồng.

C. $310$triệu đồng.

D. $295$triệu đồng.

Hướng dẫn

$m = 145.{\left( {1 + {{10}^0}{/_0}} \right)^2} + 145.{\left( {1 + {{10}^0}{/_0}} \right)^2}.{\left( {1 + {{12}^0}{/_0}} \right)^3} + 145.{\left( {1 + {{10}^0}{/_0}} \right)^2}.{\left( {1 + {{12}^0}{/_0}} \right)^3}.{\left( {1 + {{11}^0}{/_0}} \right)^2} = 303,706$ triệu đồng

Chọn đáp án B


Phần trước: Phương trình mũ

Phần sau: Trắc nghiệm phương trình logarit

Translator-Dịch »