Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần

Đăng bởi Hoanglien vào

A. CÔNG THỨC

Nếu $u(x), v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục thì :
$\int\limits u(x)v'(x)dx = \left[ {u(x).v(x) } \right] – \int\limits v(x)u'(x)dx$
Viết gọn là :
$\int\limits udv=\left (u.v \right ) -\int\limits vdu$ 
B. CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
Dạng $1.$
$\int\limits p(x)\left[ {\begin{matrix}\sin f(x)\\ \cos f(x)\\ \tan f(x)\\e^{f(x)} \end{matrix}} \right]dx$

Phương pháp: Đặt $u=p(x)$ và $\left[ {\begin{matrix}\sin f(x)\\ \cos f(x)\\ \tan f(x)\\e^{f(x)} \end{matrix}} \right]dx=dv$ trong đó $p(x)$ thường là đa thức, có thể là phân thức, hàm vô tỷ của $x$.
Dạng $2.$
$\int\limits p(x).\ln f(x)dx$

Phương pháp: Đặt  $u=\ln f(x)$ và $p(x) dx = dv$
Dạng $3.$
$\int\limits e^{f(x)}\left[ {\begin{matrix}\sin g(x)\\ \cos g(x)\end{matrix}} \right]dx$

Phương pháp: Đặt $u=e^{f(x)}$ hoặc $u= \left[ {\begin{matrix}\sin g(x)\\ \cos g(x)\end{matrix}} \right]$
C. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ $1.$
Tính $I=\int\limits x\cos xdx$

Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=x\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx \\ v=\sin x \end{cases}$.

Khi đó ta có :
$I=x\sin x – \int\limits \sin x dx=\boxed{x\sin x + \cos x +C}$
Trong đó $C$ là hằng số.
Ví dụ $2.$
Tính $I=\int\limits x^3\cos xdx$

Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=x^3\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=3x^2dx \\ v=\sin x \end{cases}$.

Khi đó ta có :
$I=x^3\sin x – 3\int\limits x^2\sin x dx$
Đặt $\begin{cases}u=x^2\\ dv=\sin x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=2xdx \\ v=-\cos x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=x^3\sin x – 3\left[ {-x^2\cos x+2\int\limits x\cos x dx} \right]$
Đặt $\begin{cases}u=x\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx \\ v=\sin x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=x^3\sin x+3x^2\cos x -6\left[ {x\sin x – \int\limits \sin x dx} \right]$ $=\boxed{x^3\sin x + 3x^2\cos x – 6\left ( x\sin x+\cos x \right )+C}$.
Trong đó $C$ là hằng số.
Ví dụ $3.$
Tính $\int x^3 \ln^2 x dx$

Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=\ln^2 x \\ dv=x^3dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{2 \ln x}{x} dx\\ v=\frac{1}{4}x^4 \end{cases}$.

Khi đó ta có :
$I = \frac{1}{4}{x^4}{\ln ^2}x – \frac{1}{2}\int {{x^3}} \ln xdx$Đặt $\begin{cases}u=\ln x \\ dv=x^3dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x} dx\\ v=\frac{1}{4}x^4 \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I = \frac{1}{4}{x^4}{\ln ^2}x – \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{8}{x^4}\ln x – \frac{1}{8}\int {{x^3}} dx} \right]$ $ = \frac{1}{4}{x^4}{\ln ^2}x – \frac{1}{{16}}{x^4}\ln x + \frac{1}{{16}}\int {{x^3}} dx$ $ = \frac{1}{4}{x^4}{\ln ^2}x – \frac{1}{{16}}{x^4}\ln x + \frac{1}{{64}}{x^4} + C$
Ví dụ $4.$
Tính $I=\int\limits \displaystyle e^{-2x}\cos 3x dx $

Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=e^{-2x} \\ dv= \displaystyle\cos 3x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=-2e^{-2x}\\ v=\frac{1}3\sin 3x \end{cases}$.

Khi đó ta có :
$I=\frac{1}3e^{-2x}\sin 3x+\frac{2}{3}\int\limits e^{-2x}\sin3x dx$
Đặt$\begin{cases}u=e^{-2x} \\ dv= \displaystyle\sin 3x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=-2e^{-2x}\\ v=-\frac{1}3\cos 3x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=\frac{1}3e^{-2x}\sin 3x+\frac{2}{3}\left[ -{\frac{1}3e^{-2x}\cos 3x-\frac{2}{3}\int\limits e^{-2x}\cos3x dx} \right]$
$=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin  3x – 2\cos3x \right )-\frac{4}{9}\int\limits \displaystyle e^{-2x}\cos 3x dx$
$=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin  3x – 2\cos3x \right )-\frac{4}{9}I$
$\Rightarrow \frac{13}{9}I=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin  3x – 2\cos3x \right )$
Vậy  $I=\boxed{ \displaystyle\frac{1}{13}e^{-2x}\left (3\sin  3x – 2\cos3x \right )+C}$
Trong đó $C$ là hằng số.
Ví dụ $5.$
Tính $I = \int {\frac{{1 + \ln (x + 1)}}{{{x^2}}}} dx$
Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=1+ \ln (x+1) \\ dv= \displaystyle \frac{dx}{x^2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x+1} dx\\ v=\frac{-1}{x} \end{cases}$.

Khi đó ta có :
$I = – \frac{{1 + \ln (x + 1)}}{x} – \int {\frac{1}{{x(x + 1)}}} dx$
Trong đó,
${I_1} = \int {\frac{1}{{x(x + 1)}}} dx = \int {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)} dx = \ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|$
Vậy: $I = – \frac{{1 + \ln (x + 1)}}{x} – \ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right| + C$
Ví dụ $6.$ 
Tính $I=\int x(1+\sin 2x)dx$
Lời giải :
$I = \int {xdx} + \int {x\sin 2xdx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \int {x\sin 2xdx} $
Đặt $\begin{cases}u=x \\ dv= \sin 2x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac{1}{2}\cos2x  \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$ = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} $
$ = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$
Vậy $ I= \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$
Ví dụ $7.$ Tính $I=\int \frac{1+x\sin x}{\cos^2x}dx$
Lời giải :
$I = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} + \int {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + {I_2}$

Ta có,
${I_2} = \int {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} $
Đặt $\begin{cases}u=x \\ dv=\frac{\sin x}{\cos^2x} dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac{1}{\cos x}  \end{cases}$.
Khi đó ta có :
${I_2} = -\frac{x}{{\cos x}} + \int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} $ $ = -\frac{x}{{\cos x}} + \int {\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{{{\sin }^2}x – 1}}} $ $ =- \frac{x}{{\cos x}} + \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{\sin x – 1}} + \frac{1}{{\sin x + 1}}} \right)} d(\sin x)$ $ = -\frac{x}{{\cos x}} + \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {\frac{{\sin x – 1}}{{\sin x + 1}}} \right|} \right)$
Vậy $ I= \tan x – \frac{x}{{\cos x}} + \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {\frac{{\sin x – 1}}{{\sin x + 1}}} \right|} \right) + C$
D. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài $1.$
Tính $I = \int {x{{\cos }^2}xdx} $
Bài $2.$
Tính $I=\int \frac{x^2e^x}{(x+2)^2}dx$
Bài $3.$
Tính $I=\int e^{-2x}\sin^2(\pi x)dx$
Bài $4.$
Tính $I = \int {\frac{{{x^2}\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}} dx$
Bài $5.$
Tính $I=\int\limits \cos (\ln x)dx$

Bài $6.$
Tính $I=\int e^{2x}\sin^2xdx$

Bài $7.$
Tính $I=\int \left (2x-\frac{3}{x} \right )\ln x dx$

Bài $8.$
Tính $I=\int \frac{3+\ln x}{(x+1)^2}dx$


Xem thêm: Tích phân từng phần

Translator-Dịch »