Phương trình Mũ

Đăng bởi Hoanglien vào

1. Phương trình Mũ cơ bản
– Phương trình mũ cơ bản có dạng ${a^x} = b$ trong đó: $\left( {0 < a \ne 1;{\rm{ }}b \in {\bf{R}}} \right)$

Phương trình xác định với mọi $x \in R$.

Nếu $b \leqslant 0$ thì phương trình ${a^x} = b$ vô nghiệm
Nếu $b > 0$ thì phương trình ${a^x} = b$ có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$. Nói cách khác    $\forall b \in \left( {0; + \infty } \right),{a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b$
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
            Áp dụng tính chất:
(i) ${a^\alpha } = {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  = \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a \ne 0)$
(ii) Nếu $\alpha  > 0,\,\,\beta  > 0\,\,$ thì $\,\,{\log _a}\alpha  = \,{\log _a}\beta  \Leftrightarrow \alpha  = \beta $
Áp dụng các tính chất trên, ta có thể giải 1 số dạng phương trình mũ bằng cách đưa các lũy thừa trong phương trình về lũy thừa với cùng 1 cơ số.
Ví dụ: Giải phương trình  ${9^{x + 1}} = {27^{2x + 1}}$            (1)
Giải
${9^{x + 1}} = {27^{2(x + 1)}}$ và ${27^{2x + 1}} = {3^{(3x + 1)}}$
Do đó
$\begin{gathered}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {3^{2(x + 1)}} = {3^{3(2x + 1)}} \Leftrightarrow 2(x + 1) = 3(2x + 1)   \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\, – 4x – 1 = 0 \Leftrightarrow x =  – \frac{1}{4}   \\
\end{gathered} $
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  – \frac{1}{4}$
b) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình ${3^{2x + 5}} = {3^{x + 2}} + 2$
Giải: Ta có thể viết ${3^{2x + 5}} = {3.3^{2x + 4}} = 3.{({3^{x + 2}})^2}$
Đặt $y = {3^{x + 2}}\,\,\,(y > 0)$ thì phương trình đã cho có dạng $3{y^2} = y + 2 \Leftrightarrow y = 1;y =  – \frac{2}{3}$, nhưng chỉ có y=1 là thích hợp
Do đó: ${3^{2x + 5}} = {3^{x + 2}} + 2 \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow x =  – 2$
c)  Phương pháp lôgarit hoá
Nếu hai vế luôn dương, bằng cách lấy lôgarit hai vế (theo cùng một cơ số thích hợp nào đó) gọi là lôgarit hoá hai vế của phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình ${3^{x – 1}}{.2^{{x^2}}} = {8.4^{x – 2}}$
Giải: Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta có:
$\begin{gathered}
{3^{x – 1}}{.2^{{x^2}}} = {8.4^{x – 2}} \Leftrightarrow (x – 1){\log _2}3 + {x^2} = {\log _2}8 + (x – 2){\log _2}4   \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} – (2 – {\log _2}3)x + 1 – {\log _2}3 = 0   \\
\end{gathered} $
Phương trình bậc 2 cuối cùng có 2 nghiệm là $x = 1\& x = 1 – {\log _2}3$. Đó là nghiệm của phương trình đã cho
d) Phương pháp hàm số

Lưu ý: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và đồ thị của hàm số y=f(x) cắt trục hoành 0x thì cắt tại duy nhất một điểm. 
Ví dụ:
Giải phương trình ${2^x} = 2 – {\log _3}x$
Giải:
Điều kiện xác định của phương trình là x>0.

Phương trình có dạng: ${2^x} – 2 + {\log _3}x = 0$

Đặt : $f(x) = {2^x} – 2 + {\log _3}x$

$f’ = {2^x}\ln 2 + \frac{1}{{x\ln 3}} > 0;\forall x > 0.$

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên x>0.

Mặt khác dễ thấy $f(1) = 0$ =>x=1 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm duy nhất: $x =1$
3. Bài tập thực hành

Bài 1: Giải phương trình: ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} – x}} = {9^{x – 3}}$

Bài 2: Giải phương trình: ${2^{{x^2}}}{.3^x} = 1$

Bài 3: Giải phương trình: ${2^x} = 1 – x$


Xem thêm: Bất phương trình mũ

Translator-Dịch »