1. Phương trình logarit cơ bản
– Phương trình logarit cơ bản có dạng ${\log _a}x = m$, trong đó m là số đã cho. Điều kiện xác định của phương trình này là $x > 0$.
Với mỗi giá trị tùy ý của m, phương trình ${\log _a}x = m$luôn có một nghiệm duy nhất $x = {a^m}$. Nói cách khác
$\forall m \in \left( { – \infty ; + \infty } \right),{\log _a}x = m \Leftrightarrow x = {a^m}$
2. Một số phương pháp giải phương trình lôgarit
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
    Áp dụng các tính chất:
(i) ${a^\alpha } = {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  = \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a \ne 0)$
(ii) Nếu $\alpha  > 0,\,\,\beta  > 0\,\,$ thì $\,\,{\log _a}\alpha  = \,{\log _a}\beta  \Leftrightarrow \alpha  = \beta $
Ta có thể giải 1 số dạng phương trình logarit bằng cách đưa về  logarit với cùng 1 cơ số.
Ví dụ : Giải phương trình  ${\log _{\sqrt 3 }}x = {\log _3}(x + 2)$            (1)
Giải
Nhận xét rằng ta có thể đưa hai vế của phương trình về logarit của cùng cơ số 3
Do đó

Điều kiện: $x > 0$
$pt \Leftrightarrow {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}x = {\log _3}(x + 2)$ $ \Leftrightarrow 2{\log _3}x = {\log _3}(x + 2)$ $ \Leftrightarrow {\log _3}{x^2} = {\log _3}(x + 2)$ $ \Leftrightarrow {x^2} = x + 2$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = – 1;x = 2$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$.
b) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ : Giải phương trình: ${\log ^2}_2x – {\log _2}x – 6 = 0$
Giải 

Điều kiện: x>0.
Đặt $y = {\log _2}x$ thì phương trình đã cho có dạng: ${y^2} – y – 6 = 0 \Leftrightarrow y = 3;y = – 2$,
Do đó: 

${\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8$

${\log _2}x = – 2 \Leftrightarrow x = {2^{ – 2}} = \frac{1}{4}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=8 và $x  = \frac{1}{4}$.
c)    Phương pháp mũ hoá
Ví dụ:
Giải phương trình: ${\log _2}({3^x} – 1) = 3$
Giải

Điều kiện: ${3^x} – 1 > 0$
${\log _2}({3^x} – 1) = 3$ $ \Leftrightarrow {3^x} – 1 = {2^3}$ $ \Leftrightarrow {3^x} = 9 = {3^2}$ $ \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2.
d) Phương pháp hàm số
Ví dụ: Giải phương trình:  ${\log _2}x = 3 – x$
Giải:
Điều kiện: x>0.

$Pt \Leftrightarrow x – 3 + {\log _2}x = 0$

Đặt: $f(x) = x – 3 + {\log _2}x$

Có: $f'(x) = 1 + \frac{1}{{x\ln 2}} > 0;\forall x > 0$. Suy ra hàm số đồng biến trên miền x>0.

Mặt khác: $f(2) = 0$.
Suy ra, phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm duy nhất: $x =2$.

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) ${\log ^2}_3x – 2{\log _3}x – 3 = 0$

b) ${\log _2}\left( {{3^x} + 1} \right) = 2$

c) ${\log _3}x = 2x – 5$


Xem thêm: Bất phương trình logarit

Translator-Dịch »