Phương trình bậc hai với hệ số phức

Đăng bởi Hoanglien vào

1. Căn bậc hai của số phức.

• Định nghĩa : Số phức \(\omega\) gọi là căn bậc hai của số phức z=a+bi  nếu \(\omega^2=z\)

• Nhận xét :

Mỗi số phức \(z\ne0\) luôn có hai căn bậc hai.

• Cách tìm : Gọi \(\omega=x+yi\) (x, y ∈ R) ta có \(z=\omega^2=x^2-y^2+2xyi\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=a\\2xy=b\end{cases}\)

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức  1 – 2i

Giải: Gọi số phức cần tìm là a + bi, (a, b \(\in\mathbb{R}\)), suy ra:

\(\left(a+bi\right)^2=1-2i\)

\(\Leftrightarrow a^2+2abi+b^2i^2=1-2i\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2+2abi=1-2i\) (chú ý \(i^2=-1\))

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=1\\2ab=-2\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=1\\ab=-1\end{cases}\)

Thay \(a=-\frac{1}{b}\) từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu ta có:

\(\frac{1}{b^2}-b^2=1\) => \(b^4+b^2-1=0\) => \(\left[\begin{array}{nghiempt}b^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\b^2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\) (chú ý: b là số thực)

Với \(b^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) =>  \(\left[\begin{array}{nghiempt}b=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\b=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.\)

Với \(b=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) => \(a=-\frac{1}{b}=-\sqrt{\frac{2}{-1+\sqrt{5}}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\)

Với \(b=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) => \(a=-\frac{1}{b}=\sqrt{\frac{2}{-1+\sqrt{5}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\)

Vậy có hai số phức là căn bậc hai của 1 – 2i là:
    $ – \sqrt {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} + \sqrt {\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}} i$ và $\sqrt {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} – \sqrt {\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}} i$

2. Phương trình bậc hai với hệ số phức.

Cho phương trình bậc hai:    \(ax^2+bx+c=0\), với a, b, c là các số thực (hoặc số phức) và a khác 0.

• Tính \(\Delta=b^2-4ac\) hoặc \(\Delta’=\left(b’\right)^2-ac\)

 Trường hợp ∆ là số phức :

Ta tìm căn bậc hai \(\omega\) của ∆. Khi đó phương trình có hai nghiệm \(z=\frac{-b\pm\omega}{2a}\)

Ví dụ 1:  Giải phương trình hệ số phức sau:   \(x^2-2ix+i=0\)

Giải: \(\Delta’=\left(-i\right)^2-4i=i^2-4i=-1-4i\)

Ta tìm căn bậc hai của \(\Delta’\), giả sử a + bi (với a, b là số thực) là căn bậc hai của \(\Delta’\),

=> \(\left(a+bi\right)^2=-1-4i\)

=> \(a^2-b^2+2abi=-1-4i\)

=> \(\begin{cases}a^2-b^2=-1\\2ab=-4\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=-1\\ab=-2\end{cases}\)

Thay \(b=-\frac{2}{a}\) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được:

\(a^2-\frac{4}{b^2}=-1\)  \(\Rightarrow a^4+a^2-4=0\)  \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\a^2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\) chú ý \(a\in\mathbb{R}\)

=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}a=\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\\a=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\end{array}\right.\)

Với \(a=\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\) => \(b=-\frac{2}{a}=-2.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-1}}=-2.\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{8}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}\)

Với \(a=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\) => \(b=-\frac{2}{a}=2.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-1}}=2.\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{8}}=\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}\)

Vậy căn bậc hai của \(\Delta’\) là hai số phức sau:

\(\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\)

\(-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\)

Nghiệm của phương trình bậc hai ban đầu là:

$\sqrt {\frac{{\sqrt {17} – 1}}{2}} + \left( {1 – \sqrt {\frac{{\sqrt {17} + 1}}{2}} } \right)i$

$ – \sqrt {\frac{{\sqrt {17} – 1}}{2}} + \left( {1 + \sqrt {\frac{{\sqrt {17} + 1}}{2}} } \right)i$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:${z^2} – (3 – i)z + 4 – 3i$

Giải

$\Delta = {(3 – i)^2} – 4(4 – 3i) = – 8 + 6i$

$\Delta $ có hai căn bậc hai là: $1 + 3i$;$ – 1 – 3i$

Vậy phương trình có nghiệm: ${z_1} = \frac{{3 – i + 1 + 3i}}{2} = 2 + i$ và ${z_2} = \frac{{3 – i – 1 – 3i}}{2} = 1 – 2i$.

3. Bài tập tự luyện

Giải các phương trình sau:

a) ${z^2} – 2iz + 1 = 0$

b)${z^2} – 2iz + 1 – 3i = 0$


Xem thêm: Dạng lượng giác của số phức

Translator-Dịch »