1.Bổ đề: Nếu $F(x)’ = f(x)$ thì $\int {f(x)dx = F(x) + C} $ và $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
b\\
a
\end{array}} \right. = F(b) – F(a)$

2.Áp dụng Tính $\int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}} $

Giải

Ta có: ${\left( {\ln (x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} )} \right)^\prime }$

$ = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right)}^\prime }}}{{x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}$

$ = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}\left( {1 + \frac{{{{\left( {{x^2} \pm {a^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}} \right)$

$ = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}} \right)$

$ = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}\frac{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} + x}}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}$

$ = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}$

Vậy: $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}} = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right) + C$

3. Ví dụ 

Ví dụ 2: Tính $\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $

Giải

Ta có: ${\left( {\ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} )} \right)^\prime }$

$ = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

Vậy: $\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $

$ = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right.$

$ = \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)$

Ví dụ 2: Tính $\int\limits_3^5 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 4} }}} $

Giải

Ta có: ${\left( {\ln (x + \sqrt {{x^2} – 4} )} \right)^\prime }$

$ = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 4} }}$

Vậy: $\int\limits_3^5 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 4} }}} $

$ = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} – 4} } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5\\
3
\end{array}} \right.$

$ = \ln \frac{{5 + \sqrt {21} }}{{3 + \sqrt 5 }}$

Bài tập: Tính các tích phân sau

$a)\int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}} $

$b)\int\limits_2^3 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $

 


0 Bình luận

Trả lời

Translator-Dịch »