Phép nhân số phức

Đăng bởi Hoanglien vào

1.Phép nhân số phức
a) Tích của hai số phức
ĐỊNH NGHĨA
 Tích của hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}} \right)$ là số phức
$zz’ = {\text{aa}}’ – bb’ + \left( {ab’ + a’b} \right)i$
Nhận xét: Với mọi số thực k và mọi số phức $a + bi\,\,\,\,\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})$, ta có
$k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi$,
Đặc biệt 0z = 0 với mọi số phức z.
b) Tính chất của phép nhân số phức
* Tính chất giao hoán :
$zz’ = z’z$ với mọi $z,z’ \in \mathbb{C}$
* Tính chất kết hợp:
$\left( {zz’} \right)z” = z\left( {z’z”} \right)$ với mọi $z,z’,z” \in \mathbb{C}$
* Nhân với 1:
$1.z = z.1 = z$ với mọi $z \in \mathbb{C}$
* Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng):
$z\left( {z’ + z”} \right) = zz’ + zz”$ với mọi $z,z’,z” \in \mathbb{C}$
Từ các tính chất nói trên ta có thể thực hiện phép toán cộng và nhân các số phức theo các quy tắc như phép toán cộng và nhân các số thực.
2. VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính:

a)${(2 + 3i)^2}$                     b)${(2 + 3i)^3}$  

Lời giải 

a) ${{{\left( {2 + 3i} \right)}^2}}$ ${ = {2^2} + 2.2.3i + {{\left( {3i} \right)}^2}}$${ = 4 + 12i – 9}$ ${ = – 5 + 12i}$

b)${{{\left( {2 + 3i} \right)}^3}}$ ${ = {2^3} + {{3.2}^2}.3i + 3.2.{{\left( {3i} \right)}^2} + {{\left( {3i} \right)}^3}}$ ${ = 8 + 36i – 54 – 27i}$${ = – 46 + 9i}$

Thực hiện các phép tính sau:

a) ;               b) ;

c)                              d)   

Lời giải 

${a){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {3 – 2i} \right)\left( {2 – 3i} \right) = 6 – 9i – 4i – 6 = – 13i}$

${b){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { – 1 + i} \right)\left( {3 + 7i} \right) = – 3 – 7i + 3i – 7 = – 10 – 4i}$

${c){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5\left( {4 + 3i} \right) = 20 + 15i}$


Ví dụ 3: 
 Tính ${i^3},{i^4},{i^5}$

Lời giải 

${{i^3} = {i^2}.i = – 1.i = – i}$

${{i^4} = {i^3}.i = – i.i = – {i^2} = 1}$

${{i^5} = {i^4}.i = 1.i = i}$

Ta có: 

${{i^1} = i}$

${{i^2} = – 1}$

${{i^3} = – i}$

${{i^4} = 1}$

${{i^5} = i}$

${{i^6} = – 1}$

Vậy tổng quát lên ta có: Nếu $ n = 4q + r,0 \le r < 4$ thì  

${{i^{4q}} = {i^0} = 1}$

${{i^{4q + 1}} = {i^1} = i}$

${{i^{4q + 2}} = {i^2} = – 1}$

${{i^{4q + 3}} = {i^3} = – i}$


Xem thêm: Phép chia số phức

Translator-Dịch »