Phép chia cho số phức khác 0

Đăng bởi Hoanglien vào

1. ĐỊNH NGHĨA
– Số nghịch đảo của số phức $z$ khác 0 là số ${z^{ – 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z $

Hệ quả: $z.\overline z = 1$

Thật vậy:  Vì \(\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\left(a+bi\right)=\frac{a^2-b^2i^2}{a^2+b^2}=1\) (đpcm).
– Thương $\frac{{z’}}{z}$ của phép chia số phức $z’$ cho số phức $z$ khác 0 là tích của $z’$ với số phức nghịch đảo của $z$, tức là $\frac{{z’}}{z} = z'{z^{ – 1}}$

Thật vậy:   \(\frac{z’}{z}=z’.z^{-1}=\left(a’+b’i\right)\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)=\frac{a’a+bb’}{a^2+b^2}+\frac{ab’-a’b}{a^2+b^2}i\)
Hệ quả: Nếu $z \ne 0$thì $\frac{{z’}}{z} = \frac{{z’\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}$
CHÚ Ý 1:

 Do $\frac{{z’}}{z} = \frac{{z’\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z’\overline z }}{{z\overline z }}$ nên để tính $\frac{{z’}}{z}$ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với $\overline z $
CHÚ Ý 2:

1, Với $z \ne 0$, ta có $\frac{1}{z} = 1.{z^{ – 1}} = {z^{ – 1}}$
2, Dễ thấy rằng thương $\frac{{z’}}{z}$ là số phức $\omega $ sao cho $z\omega  = z’$. Từ đó có thể nói phép chia (cho số phức khác 0) là phép toán ngược của phép nhân.

2. VÍ DỤ

Cho $a = 2 + 3i$ và $b = 5 – 2i$, ta có:

$\frac{{2 + 3i}}{{5 – 2i}} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\left( {5 + 2i} \right)}}{{\left( {5 – 2i} \right)\left( {5 + 2i} \right)}} = \frac{{4 + 19i}}{{29}} = \frac{4}{{29}} + \frac{{19}}{{29}}i$

3. Bài tập minh họa

Bài 1:Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 – 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).

Lời giải

Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 – i}}{{(3 + i)(3 – i)}} = 5 + i + \frac{{3 – i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \frac{{53}}{{10}} – \frac{9}{{10}}i\).

Bài 2: Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 – i)}}{{1 + 2i}}\).

Lời giải

Ta có:\(z = \frac{{(1 + i)(2 – i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.\)

Vậy môđun của số phức z là: \(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 – i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)

Lời giải

\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 – i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)

\(\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}} = \frac{{10 – 15i}}{5} = 2 – 3i.\)

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)

Bài 4: Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z – 1).(2 – i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)

Lời giải

Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)

Khi đó:  \(\frac{{(\overline z – 1).(2 – i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)\(\Leftrightarrow 2(\overline z – 1)(2 – i) = (3 + i)(\overline z + 2i)\)

\(\Leftrightarrow (\overline z – 1)(4 – 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)

\(\Leftrightarrow (1 – 3i)\overline z = 2i + 4\)

\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 – 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ – 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)

\(\Rightarrow z = \frac{{ – 1}}{5} – \frac{7}{5}i\).

Bài 5: Tính số phức sau: \(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 – i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 – i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)

Lời giải

Ta có:  \(\frac{{1 + i}}{{1 – i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 – i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = – i.\)

Vậy: \({\left( {\frac{{1 + i}}{{1 – i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 – i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( – i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { – i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.\)

4. Trắc nghiệm

Nội dung bài học tiếp tục giới thiệu đến các em một phép toán tiếp theo trên tập số phức đó là phép chia hai số phức. Cách làm cụ thể và những ví dụ minh họa sẽ được giới thiệu thông qua bài học này.

Câu 1: Cho số phức \(z= \frac{{1 – i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\).

  • A. i
  • B. -i
  • C. 1
  • D. -1

Câu 2: Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\)  ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).

  • A. \(\frac{1}{{{z^3}}} = \frac{1}{2}i\)
  • B.  \(\frac{1}{{{z^3}}} = – \frac{1}{4} – \frac{1}{4}i\)
  • C.  \(\frac{1}{{{z^3}}} = – \frac{1}{2}i\)
  • D. \(\frac{1}{{{z^3}}} = i\)

Câu 3: Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 – i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\)

  • A. \(\omega = – 2 – 3i\)
  • B. \(\omega = 2 + 3i\)
  • C. \(\omega = 2 – 3i\) 
  • D.\(\omega = – 2 + 3i\)

Câu 4: Cho số phức \(z=x+yi\). Tìm phần ảo của số phức \(\frac{{\bar z + i}}{{iz – 1}}\).

  • A. \(\frac{{ – 2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) 
  • B. \(\frac{{{y^2} – {x^2} – 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) 
  • C. \(\frac{{{y^2} + {x^2} – 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
  • D. \(\frac{{{y^2} + {x^2} + 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)

Câu 5: Cho số phức \(z = – 3 – 4i.\) Tìm mô đun của số phức \(w = iz + \frac{{25}}{z}.\)

  • A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 2\)
  • B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\)
  • C. \(\left| {\rm{w}} \right| =5\)
  • D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\)

Xem thêm: Mô đun của số phức

 

Translator-Dịch »