Môđun của số phức

Đăng bởi Hoanglien vào

1. ĐỊNH NGHĨA
Môđun của số phức $a + bi\,\,\,\,\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})$ là số thực không âm $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ và được kí hiệu là $\left| z \right|$.
Như vậy: Nếu $a + bi\,\,\,\,\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})$ thì $\left| z \right| = \sqrt {z\overline z }  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
2. Ví dụ 

$\left| i \right| = 1;\,\,\left| {1 + 2i} \right| = \sqrt {1 + {2^2}}  = \sqrt 5 $
3. Lưu ý
a. Nếu $z$ là số thực thì môđun của $z$ là giá trị tuyệt đối của số thực đó.
b. $z = 0$ khi và chỉ khi $\left| z \right| = 0$

c.  Mô đun của một tích bằng tích hai mô đun:  \(\left|z_1.z_2\right|=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\)

Chứng minh:

Giả sử \(z_1=a+bi;z_2=x+yi\)

– Tích \(z_1.z_2=\left(ax-by\right)+\left(bx+ay\right)i\)

\(\left|z_1.z_2\right|=\sqrt{\left(ax-by\right)^2+\left(bx+ay\right)^2}\)

\(=\sqrt{a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2}=\sqrt{a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\)

d. Mô đun của một thương bằng thương hai mô đun: \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)

Chứng minh

– Thương \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{x+yi}=\frac{\left(a+bi\right)\left(x-yi\right)}{\left(x+yi\right)\left(x-yi\right)}=\frac{ax+by}{x^2+y^2}+\frac{\left(bx-ay\right)}{x^2+y^2}i\)

=> \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\sqrt{\frac{\left(ax+by\right)^2+\left(bx-ay\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{x^2+y^2}}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)

 

Translator-Dịch »