1.Công thức tổng quát

Một vật thể \(\Omega\) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x =a , x = b ( a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại hoành độ x ( a < x < b) và cắt \(\Omega\) theo thiết diện S(x) (hàm phụ thuộc vào hoành độ x) và là hàm liên tục theo biến x trên [a, b]. Khi đó thể tích của \(\Omega\) là (thừa nhận):

     \(V=\int\limits^b_aS\left(x\right)\text{d}x\)

2. Công thức thể tích hình lăng trụ

Tính thể tích hình lăng trụ biết diện tích đáy là B và chiều cao h (xem hình vẽ)

Áp dụng công thức ở trên:

    \(V=\int\limits^h_0S\left(x\right)\text{d}x=\int\limits^h_0B\text{d}x=B.x|^h_0=B.h\)

3. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

a) Khối chóp

Tính thể tích hình chóp có diện tích đáy B và chiều cao h (xem hình vẽ dưới)


Ta có thiết diện và đáy tỉ lệ với x/h => Diện tích thiết diện và diện tích đáy tỉ lệ với (x/h)2 (do diện tích bằng tích hai độ dài).

Hay là: \(\frac{S\left(x\right)}{B}=\frac{x^2}{h^2}\) => \(S\left(x\right)=\frac{B.x^2}{h^2}\)

Theo công thức tính thể tích:

   \(V=\int\limits^h_0S\left(x\right)\text{d}x=\int\limits^h_0\frac{B.x^2}{h^2}\text{d}x=\frac{B}{h^2}.\frac{x^3}{3}|^h_0=\frac{B.h}{3}\)

b) Khối chóp cụt

Thể tích khối chóp cụt có diện tích đáy dưới là \(B_1\) , diện tích đáy trên là \(B_2\)  và chiều cao là h:

\(V=\int\limits^{h_1}_{h_2}\frac{B_1x^2}{h_1^2}\text{d}x=\frac{B_1}{h_1^2}.\frac{x^3}{3}|^{h_1}_{h_2}=\frac{B_1}{3h_1^2}\left(h_1^3-h_2^3\right)\)

   \(=\frac{B_1\left(h_1-h_2\right)}{3}\frac{\left(h_1^2+h_1h_2+h_2^2\right)}{h_1^2}\)

Thay \(h_1-h_2=h\) và \(\left(\frac{h_2}{h_1}\right)^2=\frac{B_2}{B_1}\) ta có:

   \(V=\frac{h}{3}\left(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\right)\)

Chú ý: Có thể tính thể tích khối chóp cụt bằng hiệu hai thể tích khối chóp.

4. Tính thể tích khối tròn xoay.

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) quanh trục Ox là 

     \(V_x=\pi\int\limits^b_af^2\left(x\right)dx\)  (vì thiết diện là hình tròn bán kính \(f\left(x\right)\))

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), \(y=g\left(x\right)\) (trong đó \(f\left(x\right)\)\(g\left(x\right)\) cùng dấu) và hai đường thẳng \(x=a;x=b\) quanh trục Ox là 

     \(V_x=\pi\int\limits^b_a\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx\) (vì thiết diện là hình miệng giếng giới hạn bởi hai đường tròn bán kính lần lượt là \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\))

 • Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=g\left(y\right)\)), trục hoành và hai đường thẳng \(y=a;y=b\) quanh trục Oy là 

     \(V_y=\pi\int\limits^b_ag^2\left(y\right)dy\)

5. Áp dụng

Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=\sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0;x=\pi\). Hãy tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình này quanh trục Ox.


Giải: Thể tích của khối tròn xoay là:

    \(V=\pi\int\limits^{\pi}_0\sin^2x\text{d}x\)

        \(=\pi\int\limits^{\pi}_0\frac{1}{2}\left(1-\cos2x\right)\text{d}x=\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin2x\right)|^{\pi}_0=\frac{\pi^2}{2}\)

Ví dụ 2: Tính thể tích của vật tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng S khi nó quay quanh trục 0x, biết $S = \{ y = \sqrt x ;y = 2x – 6;0x\} $ 

Giải

Gọi V1 là thể tích vật tròn xoay sinh ra khi ${S_1} = \{ y = \sqrt x ;0x;x = 0;x = 4\} $ quay quanh trục 0x.

${V_1} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx} $

$= \pi \int\limits_0^4 {xdx}$

$ = \pi \frac{{{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right.$

$ = 8\pi $

Gọi V2 là thể tích vật tròn xoay sinh ra khi ${S_2} = \{ y = 2x-6 ;0x;x = 3;x = 4\} $ quay quanh trục 0x.

${V_2} = \pi \int\limits_3^4 {{{\left( {2x – 6} \right)}^2}dx} $

$ = 4\pi \int\limits_3^4 {{{\left( {x – 3} \right)}^2}d\left( {x – 3} \right)} $

$ = 4\pi \frac{{{{\left( {x – 3} \right)}^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}} \right.$

$ = \frac{{4\pi }}{3}$

Vậy: ${V_{0x}} = {V_1} – {V_2} = \frac{{20\pi }}{3}$

Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng \(H=\{y=x\ln x; y=0; x=1; x=e\}\) quay quanh Ox.

${V_{0x}} = \pi \int\limits_0^\pi {{{\left( {x\ln x} \right)}^2}dx} $
ĐS: \(V=\dfrac{\pi}{27}(5e^3-3)\) (đvtt)

 

Translator-Dịch »