Lý thuyết: Nguyên hàm

Đăng bởi Hoanglien vào

I. Định nghĩa nguyên hàm

1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập K. Hàm F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) nếu đạo hàm của nó F'(x) bằng f(x) với mọi x thuộc K.

2. Ví dụ

 – Hàm F(x) = x2 là nguyên hàm của hàm f(x) = 2x trên tập số thực R, vì \(F’\left(x\right)=f\left(x\right)\)

 – Hàm \(F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3\) là nguyên hàm của hàm \(f\left(x\right)=x^2\) trên tập số thực R, vì \(F’\left(x\right)=f\left(x\right)\)

 – Hàm \(F\left(x\right)=\ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\) trên \(\left(0;+\infty\right)\), vì \(F’\left(x\right)=f\left(x\right)\)

Họ nguyên hàm:

  *) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C (với C là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Ví Dụ: Hàm F(x) = x2; G(x) = x2 +1; F(x) = x2 -2;… đều là nguyên hàm của hàm f(x) = 2x trên tập số thực R, vì \(F’\left(x\right)=f\left(x\right)\)

  *) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (với C là hằng số), khi đó F(x) + C được gọi là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu: \(\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C\)

Chú ý: Biểu thức \(f\left(x\right)\text{dx}\) gọi là vi phân của F(x) vì \(\text{d}F\left(x\right)=F’\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)\text{dx}\).

2. Tính chất của nguyên hàm

TC1:      \(\int f’\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)+C\)

     Ví dụ: \(\int\left(\cos x\right)’\text{dx}=\cos x+C\)

TC2:     \(\int k.f\left(x\right)\text{dx}=k\int f\left(x\right)\text{dx}\)     với k là một hằng số khác 0.

       Ví dụ: \(\int {2{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }} {\rm{dx}} = 2\int {\left( { – \sin x} \right)} {\rm{dx}} = 2\cos x + C\)

TC3:    \(\int\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{dx}=\int f\left(x\right)\text{dx}+\int g\left(x\right)\text{dx}\)

Ví dụ: $\int {(\sin x + \cos x)dx} $ $ = \int {\sin x} {\rm{dx + }}\int {\cos xdx} $ $ = \cos x – \sin x + C$.

TC4: Mọi hàm số f(x) mà liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Tóm lại: $\boxed{F'(x)=f(x)\Rightarrow \int f(x)dx=F(x)+C}$

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm cơ bản

1. $\displaystyle\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$;$\forall \alpha = – 1$.

Chú ý:

  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^n}dx=\int x^{-n}dx$
  • $\displaystyle\int \sqrt[n]{x^m}dx=\int x^{m/n}dx$
  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[n]{x^m}}dx=\int x^{-m/n}dx$
2. $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
3. $\displaystyle\int \alpha^xdx=\dfrac{\alpha^x}{\ln \alpha}+C$
4. $\displaystyle\int \sin xdx=-\cos x+C$
5. $\displaystyle\int \cos xdx=\sin x+C$
6. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$
7. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}dx=-\cot x+C$

II. Một số kỹ thuật tính nhanh nguyên hàm

1.Kỹ thuật tính nhanh một số nguyên hàm thường gặp

1. $\displaystyle\int  (ax+b)^\alpha dx=\dfrac{1}{a}.\dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$;$\forall \alpha = – 1$.

Chú ý:

  • $\displaystyle\int \dfrac{1}{(ax+b)^n}dx=\int (ax+b)^{-n}dx$
  • $\displaystyle\int \sqrt[n]{(ax+b)^m}dx=\int (ax+b)^{m/n}dx$
  • $ \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[n]{(ax+b)^m}}dx=\int (ax+b)^{-m/n}dx$

Ví dụ: $I = \int {\frac{{dx}}{{{{(2x – 1)}^3}}}} $ $ = \int {{{(2x – 1)}^{ – 3}}dx} $ $ = \frac{1}{2}.\frac{1}{{ – 3 + 1}}.{(2x – 1)^{ – 3 + 1}} + C$ $ = – \frac{1}{4}{(2x – 1)^{ – 2}} + C$ $ = – \frac{1}{{4{{(2x – 1)}^2}}} + C$

2. $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a}.\ln |ax+b|+C$
3. $\displaystyle\int \alpha^{ax+b}dx=\dfrac{\alpha^{ax+b}}{\ln \alpha}+C$
4. $\displaystyle\int \sin (ax+b)dx=-\dfrac{1}{a}\cos (ax+b)+C$
5. $\displaystyle\int \cos (ax+b)dx=\dfrac{1}{a}\sin (ax+b)+C$
6. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 (ax+b)}dx=\dfrac{1}{a}\tan (ax+b)+C$
7. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 (ax+b)}dx=-\dfrac{1}{a}\cot (ax+b)+C$

2. Kỹ thuật đưa vào vi phân

$\boxed{ \int f'(x)dx= \int d(f(x))=f(x)+C}$

Ví dụ 1: $I = \int {\sin xdx = \int {d( – \cos x) = } } – \cos x + C$.

Ví dụ 2: $I = \int {{{\sin }^2}x\cos xdx} $ $ = \int {{{\sin }^2}xd(\sin x)} = \frac{1}{3}{\sin ^3}x + C$

Ví dụ 3: $I = \int {\cot xdx} $ $ = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} $ $ = \int {\frac{{d(sinx)}}{{\sin x}}} $ $ = \ln \left| {\sin x} \right| + C$.

Ví dụ 4: $I = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} $ $ = \int {\ln xd(\ln x)} $ $ = \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C$

III. Một số dạng bài tập cơ bản

Dạng 1. Tìm nguyên hàm

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{x}-x^2}{x}dx$.

Giải

$I = \int {\left( {\frac{{\sqrt[3]{x}}}{x} – \frac{{{x^2}}}{x}} \right)} dx = $ $\int {\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{3}}}}}{x} – x} \right)} dx = $ $\int {{x^{ – \frac{2}{3}}}dx – \int x } dx = $ $\frac{{{x^{ – \frac{2}{3} + 1}}}}{{ – \frac{2}{3} + 1}} – \frac{{{x^{1 + 1}}}}{2} + C$ $ = 3{x^{\frac{1}{3}}} – \frac{{{x^2}}}{2} + C$ $ = 3\sqrt[3]{x} – \frac{{{x^2}}}{2} + C$

Vậy: $I=3\sqrt[3]{x}-\dfrac{x^2}{2}+C$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int \dfrac{2x^2+x+3}{2x+1}dx$.

Giải

$I = \int {\frac{{2{x^2} + x + 3}}{{2x + 1}}} dx$ $ = \int {\left( {x + \frac{3}{{2x + 1}}} \right)} dx$ $ = \int {xdx + 3\int {\frac{{dx}}{{2x + 1}}} } $ $ = {x^2} + \frac{3}{2}\int {\frac{{2dx}}{{2x + 1}}} $ $ = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}\ln |2x + 1| + C$.

Vậy: $I=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{3}{2}\ln |2x+1|+C$

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int (3\cos x-3^{x-1})dx$.

Giải

$I = \int {(3\cos x – {e^x})} dx$ $ = \int {3\cos xdx – \int {{e^x}dx} } $ $=3\int {\cos xdx – \int {{e^x}dx} } $ $ = – 3\sin x – {e^x} + C$

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\sin x\cos xdx} \)

Giải

$I = \int {\sin x\cos xdx} $ $ = \int {\sin xd(\sin x)} $ $ = \frac{1}{2}{\sin ^2}x + C$.
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $I = \int {\tan xdx} $.

Giải

$I = \int {\tan xdx} $ $ = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} $ $ = – \int {\frac{{d(\cos x)}}{{\cos x}}} $ $ = – \ln \left| {\cos x} \right| + C$.

Dạng 2. Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ: Cho $F(x) = \int {{{(2x + 1)}^5}dx} $. Tìm F(x) đi qua điểm A(1;1).

Giải

Ta có: $F(x) = \int {{{(2x – 1)}^5}dx} $ $ = \frac{1}{2}.\frac{1}{6}.{(2x – 1)^6} + C$

Do F(x) đi qua điểm A(1;1) nên  F(1)=1<=>$\frac{1}{2}.\frac{1}{6}.{(2.1 – 1)^6} + C = 1$. Suy ra: C=12.

Vậy: $F(x) = \frac{1}{{12}}{(2x – 1)^6} + 12$.


Phần tiếp theo: Tích phân

Kiểm tra năng lực: Phần nguyên hàm


Trả lời

Translator-Dịch »