Lý thuyết: LŨY THỪA

Đăng bởi Hoanglien vào

1. Các định nghĩa.

a) Lũy thừa với số mũ nguyên

• Lũy thừa với số mũ nguyên dương : ${a^n} = \underbrace {a.a…a}_{{\rm{n -chu so a}}}$ (n thừa số a) (a ∈ R, n ∈ N* ).

  Trong đó: a gọi là cơ số, n gọi là số mũ,${a^n}$ gọi là: a lũy thừa n ( tuy nhiên ta hay gọi: a mũ n).

• Lũy thừa với số mũ nguyên âm : \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)(a\(\ne\) 0, n ∈ N ). 

• Lũy thừa với số mũ 0 : \(a^0=1,\left(a\ne0\right)\); 

  • ${0^0}$ : không có nghĩa.
  • ${0^{ – n}}$ : không có nghĩa.

Lưu ý: Cách viết số lũy thừa

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

  • Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) (a > 0; m, n ∈ Z; n \(\ge\) 2).

c) Lũy thừa với số mũ thực

• Lũy thừa với số mũ thực: ${a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}$; $\left( {a > 0;\left( {{r_n}} \right) \subset Q;\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n} = \alpha } \right)$

2. Các tính chất của lũy thừa 

a) Tính chất hằng đẳng thức

Cho hai số thực a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý;  

*Cùng cơ số:

  • \(a^{\alpha}.a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}\) .
  • \(\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha.\beta}\) .
  • $\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha – \beta }}$.
  • ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$ $(m \in Q;n \in N,n \ge 2)$

*Không cùng cơ số

\(\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}\).

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha}=\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\).

b) Tính chất bất đẳng thức

*Cùng cơ số

• Nếu a > 1 thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\) \(\Leftrightarrow\alpha>\beta\)

• Nếu 0 < a < 1 thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\Leftrightarrow\alpha<\beta\).

*Khác cơ số

• Nếu α > 0 thì 0 < a < b ⇔ \(a^{\alpha}\)<\(b^{\alpha}\)

• Nếu α < 0 thì 0 < a < b ⇔\(a^{\alpha}\) > \(b^{\alpha}\) 

• Nếu 0<a<b và m>0 thì ${a^m} < {b^m}$.

• Nếu 0<a<b và m<0 thì ${a^m} < {b^m}$

3. Một số dạng bài tập cơ bản

Dạng 1: Tính

Ví dụ 1 : Tính giá trị biểu thức sau : \(A=4^{\frac{3}{2}}+8^{\frac{2}{3}}\)

Bài giải :

\(A=4^{\frac{3}{2}}+8^{\frac{2}{3}}=\left(2^2\right)^{\frac{3}{2}}+\left(2^3\right)^{\frac{2}{3}}=2^3+2^2=12\)

Ví dụ 2 : Tính giá trị biểu thức

\(A=\frac{\sqrt[5]{81}.\sqrt[5]{3}.\sqrt[5]{9}.\sqrt{12}}{\left(\sqrt[5]{\sqrt{3}}\right)^3.\sqrt{18}.\sqrt[5]{27}.\sqrt{6}}\)

Bài giải : 

$A=\frac{\sqrt[5]{81}.\sqrt[5]{3}.\sqrt[5]{9}.\sqrt{12}}{\left(\sqrt[5]{\sqrt{3}}\right)^3.\sqrt{18}.\sqrt[5]{27}.\sqrt{6}}$ $=\frac{3^{\frac{4}{5}}.3^{\frac{1}{5}}.3^{\frac{2}{5}}.2.3^{\frac{1}{2}}}{\left(3^{\frac{1}{10}}\right)^3.3.2^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{3}{5}}.2^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{1}{2}}}$ $=\frac{3^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{9}{10}}}$ $=3^{-\frac{1}{2}}$ $=\frac{1}{\sqrt{3}}$ $=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Ví dụ 3 : Đơn giản biểu thức sau :\(B=\sqrt[3]{a^2\sqrt[4]{a}}\)

Bài giải :

$B=\sqrt[3]{a^2\sqrt[4]{a}}=\left(a^2.a^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$ $=\left(a^{\frac{9}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$ $=a^{\frac{1}{2}}$ $=\sqrt{a}$

Dạng 3: So sánh các số

a) So sánh hai số cùng cơ số và không cùng lũy thừa

Ví dụ 4: Không dùng máy tính, so sánh: ${2^{500}}$ và ${2^{501}}$.

Giải

Ta có $2 > 1$ và $500 < 501$ $ \Rightarrow {2^{500}} < {2^{501}}$.

Ví dụ 5: Không dùng máy tính, so sánh ${\left( {0.1} \right)^{500}}$ và ${\left( {0.1} \right)^{501}}$.

Ta có: $0,1 < 1$ và $500 < 501$ ${\left( {0.1} \right)^{500}} > {\left( {0.1} \right)^{501}}$.

b) So sánh không cùng cơ số nhưng cùng lũy thừa

Ví dụ 6: Không dùng máy tính, so sánh:

a) ${\left( {0,1} \right)^{500}}$ và 1;

b) ${3^{400}}$ và ${2^{500}}$

Giải

a)Ta có: $0,1 < 1 \Rightarrow {\left( {0,1} \right)^{500}} < {1^{500}} = 1$.

b) Ta có: ${3^{400}} = {\left( {{3^4}} \right)^{100}} = {81^{100}}$;

mặt khác: ${2^{500}} = {\left( {{2^5}} \right)^{100}} = {32^{100}}$

Vì $81 > 32 > 0;100 > 0$  $ \Rightarrow {81^{100}} > {32^{100}}$ $ \Rightarrow {3^{400}} > {2^{500}}$;

c) So sánh hai số qua số trung gian

Ví dụ 7: Không dùng máy tính, so sánh: ${3^{\sqrt 2 }}$ và ${2^{\sqrt 3 }}$.

Giải

Ta có: $\sqrt 2 > 1,4 \Rightarrow {3^{\sqrt 2 }} > {3^{1,4}} = {3^{\frac{7}{5}}} = \sqrt[5]{{{3^7}}} = \sqrt[5]{{2183}} > \sqrt[5]{{1024}} = \sqrt[5]{{{4^5}}} = 4$ (1)

Ta có:$\sqrt 3 < 1,8 \Rightarrow {2^{\sqrt 3 }} < {2^{1,8}} = {2^{\frac{9}{5}}} = \sqrt[5]{{{2^9}}} = \sqrt[5]{{512}} < \sqrt[5]{{1024}} = \sqrt[5]{{{4^4}}} = 4$ (2)

từ (10 và (2) suy ra:${3^{\sqrt 2 }} > {2^{\sqrt 3 }}$.

d) So sánh qua nhiều trung gian

Ví dụ 8: Không dùng máy tính, so sánh: ${3^{\frac{1}{{10}}}} + \sqrt[{20}]{5} + {\left( {0,1} \right)^{ – 0,75}}$ và 3.

Giải

Ta có: $3 > 1 \Rightarrow {3^{\frac{1}{{10}}}} > {1^{\frac{1}{{10}}}} = 1$.

$5 > 1 \Rightarrow \sqrt[{20}]{5} > \sqrt[{20}]{1} = 1$

$0,1 < 1 \Rightarrow {\left( {0,1} \right)^{ – 0,75}} > {1^{ – 0,75}} = 1$

Suy ra: ${3^{\frac{1}{{10}}}} + \sqrt[{20}]{5} + {\left( {0,1} \right)^{ – 0,75}} > 1 + 1 + 1 = 3$.

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức lũy thừa

Ví dụ 9: Chứng minh rằng: $\frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = ab$

Giải

Ta có: $VT = \frac{{ab({a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}})}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = ab = VP$ (đpcm).

Dạng 5: Công thức lãi kép

Gửi tiền vào ngân hàng, ngoài thể thức lãi kép là thể thức tính lãi nhập vào vốn của kỳ kế tiếp nếu đến kỳ người gửi không rút vốn hoặc lãi.

Gọi

A: là số tiền gửi (vốn);

r: là lãi suất tiền gửi theo kỳ.

N: là số lượng kỳ sau hạn trả lãi.

C: Thu nhập vốn và lãi sau N kỳ trả lãi.

Khi đó: $C = A.{\left( {1 + r} \right)^N}$.

Ví dụ 10: Theo thể thức lãi kép, một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo kỳ hạn 1 năm với lãi suất 7.56%/ năm. Hỏi sau 2 năm người đó thu được bao nhiêu?

Giải

Áp dụng công thức: \[C = A.{\left( {1 + r} \right)^N}\], ta có: $C = 10.{\left( {1 + 0.0756} \right)^2} = 11,569$ (triệu đồng)


 

Xem thêm: Chuyên đề: Các dạng toán lũy thừa.


Phần trước: Lý thuyết hàm số: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Phần tiếp theo: Lý thuyết: Logarit.

Kiểm tra năng lực phần: Lũy thừa.


Trả lời

Translator-Dịch »