Lý thuyết hàm số: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Đăng bởi Hoanglien vào

I. Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (tổng quát)

1. Tập xác định.

  •   Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên.

   + Tính đạo hàm y’

   + Tìm các điểm xi tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định

   + Tìm các giới hạn: Tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

   + Lập bảng biến thiên.

  • Chi ra khoảng ĐB-NB.
  • Chỉ ra các điểm cực trị.
  • Chỉ ra tâm đố xứng, trục đối xứng.

3. Đồ thị.

Dựa vào bảng biến thiên, các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. Có thể khảo sát thêm các yếu tố sau để có đồ thị chính xác hơn:

  • Giao với 0x; 0y.
  • Điểm đặc biệt (bảng giá trị bổ sung).
  • Vẽ đồ thị.

II. Các Dạng Đồ Thị 

1.Dạng đồ thị bậc 3: $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;(a \ne 0)$

2. Dạng đồ thị bậc 4 trùng phương: $y = a{x^4} + b{x^2} + c;(a \ne 0)$

3. Dạng đồ thị b1/b1: $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}};(ad \ne cb)$

III. Dạng toán cơ bản

Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=x^3+3x^2-4\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  hàm số 

Bài giải :

a. Tập xác định : D = R

b. Sự biến thiên : Ta có \(y’=3x^2+6x\)

                                        \(y’=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=-2\end{array}\right.\)

                                    \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=-\infty\)

* Bảng biến thiên  


 * Hàm số đồng biên trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\); Hàm nghịch biến trên \(\left(-2;0\right)\)

* Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2,y_{CD}=0\)

                đạt cực tiểu tại \(x=0,y_{CT}=-4\)

Đồ thị

Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=x^4-2x^2-1\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

Bài giải :

1.Tập xác định : D = R

2.Sự biến thiên:

Ta có \(y’=4x\left(x^2-1\right)\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\Rightarrow y=-1\\x=\pm1\Rightarrow y=-2\end{array}\right.\)

Giới hạn : \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=+\infty\)

Bảng biến thiên 

  • Hàm đồng biến trên \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(0;1\right)\)
  • Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;y_{CD}=-1\)
  • Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm1;y_{ct}=-2\)

3.Đồ thị :

Do hàm số \(y=x^{ }-2x^2-1\) là hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng 

Ví dụ 3 : Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{x-2}\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Bài giải :

1.Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{2\right\}\)

2. Sự biến thiên :

* Ta có \(y’=\frac{1}{\left(x-2\right)^2}>0;x\ne2\) suy ra hàm số  đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\)

* \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x+1}{x-2}=-1\) 

               và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x+1}{x-2}=-1\)

                      \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\frac{-x+1}{x-2}=+\infty\)

               và \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{-x+1}{x-2}=-\infty\)

* Tiệm cận : Đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=-1\); đường tiệm cận đứng là \(x=2\)

* Bảng biến thiên

  

* Đồ thị :

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (0;1); cắt trục tung tại \(\left(0;-\frac{1}{2}\right)\) và nhận giao điểm I(2;-1) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng 

Dạng 2. Tương giao hai đồ thị

Lưu ý: Một số phép biến đổi đồ thị

+ Hàm số chẵn thì đồ thị đối xứng qua 0y.

+ Hàm số lẻ đồ thị đối xứng qua tâm 0.

+ Hàm trị tuyệt đối :

$y = \left| {f(x)} \right|$ $ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x)}&{khi}&{f(x) \ge 0}
\end{array}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x)}&{khi}&{f(x) < 0}
\end{array}}
\end{array}} \right.$

 Do vậy, đồ thị $y = \left| {f(x)} \right|$ được suy ra từ đồ thị $y = f(x)$ như sau:

  • Giữ nguyên phần đồ thị $y = f(x)$ phía trên trục 0x.
  • Lấy đối xứng qua 0x phần đồ thị $y = f(x)$ phía dưỡi 0x.

Ví dụ 4 : Cho hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Tìm m để phương trình \(\left|x^4-2x^2-1\right|=2m\) có 6 nghiệm phân biệt

Giải

a. Tham khảo ví dụ 2.

b. Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị \(\begin{cases}\left(C’\right):y=\left|x^4-2x^2-1\right|\\\Delta:y=2m;\Delta\backslash\backslash Ox\end{cases}\)

Ta có đồ thị

 

Dựa vào (C’), suy ra phương trình đã cho có  6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :

\(1< 2m< 2\Leftrightarrow\frac{1}{2}< m< 1\)

Ví dụ 5 : Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{x-2}\)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình \(\left|\left|x\right|-1\right|=m\left|\left|x\right|-2\right|\)

Bài giải :

a. Tham khảo ví dụ 3

b. Ta có \(x=\pm2\) không là nghiệm của phương trình nên : 

                \(\left|\left|x\right|-1\right|=m\left|\left|x\right|-2\right|\Leftrightarrow m=\frac{\left|1-\left|x\right|\right|}{\left|\left|x\right|-1\right|}\)

Xét hàm số \(\frac{\left|1-\left|x\right|\right|}{\left|\left|x\right|-1\right|}=y\) có đồ thị (C’)

Từ đồ thị ta có 

* Với \(0< m< \frac{1}{2}\) và \(m>\frac{1}{2}\) thì phương trình có 4 nghiệm riêng biệt

* Với m = 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

* Với \(m=\frac{1}{2}\) thì phương trình  có 3 nghiệm phân biệt

* Với m < 0 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 6 : Cho hàm số \(y=x^3+3x^2-4\). 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  hàm số 

b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-1\right|}\)

Đồ thị

b. Ta có \(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-\right|}\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=m,x\ne1\)

Xét hàm số  \(f\left(x\right)=\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=\begin{cases}x^3+3x^2-4;x>1\\-\left(x^3+3x^2-4\right);x< 1\end{cases}\) .

Có đồ thị như sau:

Dựa  vào đồ thị suy ra :

* m < 0 phương trình vô nghiệm

* m = 0 phương trình có 2 nghiệm

* 0 < m < 4 phương trình có 4 nghiệm

* m = 4 phương trình có 3 nghiệm

* m > 4 phương trình có 2 nghiệm 

Translator-Dịch »