I. Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (tổng quát)

1. Tập xác định.

  •   Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên.

   + Tính đạo hàm y’

   + Tìm các điểm xi tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định

   + Tìm các giới hạn: Tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

   + Lập bảng biến thiên.

  • Chi ra khoảng ĐB-NB.
  • Chỉ ra các điểm cực trị.
  • Chỉ ra tâm đố xứng, trục đối xứng.

3. Đồ thị.

Dựa vào bảng biến thiên, các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. Có thể khảo sát thêm các yếu tố sau để có đồ thị chính xác hơn:

  • Giao với 0x; 0y.
  • Điểm đặc biệt (bảng giá trị bổ sung).
  • Vẽ đồ thị.

II. Các Dạng Đồ Thị 

1.Dạng đồ thị bậc 3: $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;(a \ne 0)$

2. Dạng đồ thị bậc 4 trùng phương: $y = a{x^4} + b{x^2} + c;(a \ne 0)$

3. Dạng đồ thị b1/b1: $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}};(ad \ne cb)$

III. Dạng toán cơ bản

Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=x^3+3x^2-4\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  hàm số 

Bài giải :

a. Tập xác định : D = R

b. Sự biến thiên : Ta có \(y’=3x^2+6x\)

                                        \(y’=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=-2\end{array}\right.\)

                                    \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=-\infty\)

* Bảng biến thiên  


 * Hàm số đồng biên trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\); Hàm nghịch biến trên \(\left(-2;0\right)\)

* Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2,y_{CD}=0\)

                đạt cực tiểu tại \(x=0,y_{CT}=-4\)

Đồ thị

Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=x^4-2x^2-1\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

Bài giải :

1.Tập xác định : D = R

2.Sự biến thiên:

Ta có \(y’=4x\left(x^2-1\right)\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\Rightarrow y=-1\\x=\pm1\Rightarrow y=-2\end{array}\right.\)

Giới hạn : \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=+\infty\)

Bảng biến thiên 

  • Hàm đồng biến trên \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(0;1\right)\)
  • Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;y_{CD}=-1\)
  • Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm1;y_{ct}=-2\)

3.Đồ thị :

Do hàm số \(y=x^{ }-2x^2-1\) là hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng 

Ví dụ 3 : Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{x-2}\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Bài giải :

1.Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{2\right\}\)

2. Sự biến thiên :

* Ta có \(y’=\frac{1}{\left(x-2\right)^2}>0;x\ne2\) suy ra hàm số  đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\)

* \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x+1}{x-2}=-1\) 

               và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x+1}{x-2}=-1\)

                      \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\frac{-x+1}{x-2}=+\infty\)

               và \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}y=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{-x+1}{x-2}=-\infty\)

* Tiệm cận : Đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=-1\); đường tiệm cận đứng là \(x=2\)

* Bảng biến thiên

  

* Đồ thị :

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (0;1); cắt trục tung tại \(\left(0;-\frac{1}{2}\right)\) và nhận giao điểm I(2;-1) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng 

Dạng 2. Tương giao hai đồ thị

Lưu ý: Một số phép biến đổi đồ thị

+ Hàm số chẵn thì đồ thị đối xứng qua 0y.

+ Hàm số lẻ đồ thị đối xứng qua tâm 0.

+ Hàm trị tuyệt đối :

$y = \left| {f(x)} \right|$ $ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x)}&{khi}&{f(x) \ge 0}
\end{array}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x)}&{khi}&{f(x) < 0}
\end{array}}
\end{array}} \right.$

 Do vậy, đồ thị $y = \left| {f(x)} \right|$ được suy ra từ đồ thị $y = f(x)$ như sau:

  • Giữ nguyên phần đồ thị $y = f(x)$ phía trên trục 0x.
  • Lấy đối xứng qua 0x phần đồ thị $y = f(x)$ phía dưỡi 0x.

Ví dụ 4 : Cho hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Tìm m để phương trình \(\left|x^4-2x^2-1\right|=2m\) có 6 nghiệm phân biệt

Giải

a. Tham khảo ví dụ 2.

b. Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị \(\begin{cases}\left(C’\right):y=\left|x^4-2x^2-1\right|\\\Delta:y=2m;\Delta\backslash\backslash Ox\end{cases}\)

Ta có đồ thị

 

Dựa vào (C’), suy ra phương trình đã cho có  6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :

\(1< 2m< 2\Leftrightarrow\frac{1}{2}< m< 1\)

Ví dụ 5 : Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{x-2}\)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình \(\left|\left|x\right|-1\right|=m\left|\left|x\right|-2\right|\)

Bài giải :

a. Tham khảo ví dụ 3

b. Ta có \(x=\pm2\) không là nghiệm của phương trình nên : 

                \(\left|\left|x\right|-1\right|=m\left|\left|x\right|-2\right|\Leftrightarrow m=\frac{\left|1-\left|x\right|\right|}{\left|\left|x\right|-1\right|}\)

Xét hàm số \(\frac{\left|1-\left|x\right|\right|}{\left|\left|x\right|-1\right|}=y\) có đồ thị (C’)

Từ đồ thị ta có 

* Với \(0< m< \frac{1}{2}\) và \(m>\frac{1}{2}\) thì phương trình có 4 nghiệm riêng biệt

* Với m = 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

* Với \(m=\frac{1}{2}\) thì phương trình  có 3 nghiệm phân biệt

* Với m < 0 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 6 : Cho hàm số \(y=x^3+3x^2-4\). 

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  hàm số 

b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-1\right|}\)

Đồ thị

b. Ta có \(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-\right|}\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=m,x\ne1\)

Xét hàm số  \(f\left(x\right)=\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=\begin{cases}x^3+3x^2-4;x>1\\-\left(x^3+3x^2-4\right);x< 1\end{cases}\) .

Có đồ thị như sau:

Dựa  vào đồ thị suy ra :

* m < 0 phương trình vô nghiệm

* m = 0 phương trình có 2 nghiệm

* 0 < m < 4 phương trình có 4 nghiệm

* m = 4 phương trình có 3 nghiệm

* m > 4 phương trình có 2 nghiệm 


0 Bình luận

Trả lời

Translator-Dịch »