Lý thuyết hàm số: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đăng bởi Hoanglien vào

I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa: Giả sử hàm số \(f\) xác định trên tập hợp D. Khi đó :

•   $M = \mathop {Max}\limits_D f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) \le M,x \in D}\\
{\exists {x_0} \in D:M = f\left( {{x_0}} \right)}
\end{array}} \right.$

•   $m = \mathop {Min}\limits_D f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) \ge m,x \in D}\\
{\exists {x_0} \in D:m = f\left( {{x_0}} \right)}
\end{array}} \right.$

Hệ quả:

• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn $\left[ {a;b} \right]$ đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

II. Các qui tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]

Cách 1:

Quy tắc

• Tính y’

+ Cho \(y’=0\Rightarrow x_i\in\left[a;b\right]\).

+ Tìm các giá trị xj ∈ [a;b] mà tại đó y’ không tồn tại.

• Tính $y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x_i}} \right);y\left( {{x_j}} \right)$;

So sánh và kết luận: 

  • $\mathop {Max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \max \left\{ {y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x_i}} \right);y\left( {{x_j}} \right)} \right\}$.
  • $\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \min \left\{ {y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x_i}} \right);y\left( {{x_j}} \right)} \right\}$

Cách 2:

  • Tính y’

+ Cho \(y’=0\Rightarrow x_i\in\left[a;b\right]\).

+ Tìm các giá trị xj ∈ [a;b] mà tại đó y’ không tồn tại.

• Lập bảng biến thiên; từ bảng biến thiên xét trên [a;b] rút ra kết luận. 

  • $\mathop {Max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \max \left\{ {y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x_i}} \right);y\left( {{x_j}} \right)} \right\}$.
  • $\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \min \left\{ {y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x_i}} \right);y\left( {{x_j}} \right)} \right\}$

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng D.

Tính y’

+ Cho \(y’=0\Rightarrow x_i\in\left[a;b\right]\).

+ Tìm các giá trị xj ∈ [a;b] mà tại đó y’ không tồn tại.

• Lập bảng biến thiên; từ bảng biến thiên xét trên [a;b] rút ra kết luận. 

  • $\mathop {Max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \max \left\{ {y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x_i}} \right);y\left( {{x_j}} \right)} \right\}$.
  • $\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \min \left\{ {y\left( a \right);y\left( b \right);y\left( {{x_i}} \right);y\left( {{x_j}} \right)} \right\}$

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}};x\in\left[-1;2\right]\).Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(f\left(x\right)\) trên đoạn \(\left[-1;2\right]\)

Bài giải 

Cách 1: 

TXĐ: R

Ta có : \(f’\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)

  • $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$
  • $y( – 1) = 0$
  • $y(1) = \sqrt 2 $
  • $y(2) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}$

Do hàm số liên tục trên [-1;2] suy ra:

  • $\mathop {max}\limits_{_{\left[ { – 1;2} \right]}} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt 2 $
  • $\mathop {min}\limits_{_{\left[ { – 1;2} \right]}} f\left( x \right) = f( – 1) = 0$

Cách 2:

TXĐ: R

Ta có : \(f’\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)

  • $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Lập bảng biến thiên :



Từ đó ta có : 

  • $\mathop {max}\limits_{_{\left[ { – 1;2} \right]}} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt 2 $
  • $\mathop {min}\limits_{_{\left[ { – 1;2} \right]}} f\left( x \right) = f( – 1) = 0$

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số   \(f\left(x\right)=x+\sqrt{4-x^2}\) trên miền xác định của nó.

        Bài giải :

Điều kiện: \(4-x^2\ge0\Leftrightarrow-2\le x\le2\)

TXĐ: D=[-2;2]

Ta có \(f’\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}\)

$y’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 – {x^2}} = x$ 

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{x = \pm \sqrt 2 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 $

Lập bảng biến thiên

Từ đó ta có :

$\mathop {max}\limits_{_{\left[ { – 2;2} \right]}} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 2\sqrt 2 $

$\mathop {\min }\limits_{_{\left[ { – 2;2} \right]}} f\left( x \right) = f\left( { – 2} \right) = – 2$

Ví dụ 3: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Cắt bốn góc của hình vuông đó bốn hình vuông nhỏ bằng nhau rồi gập tấm nhôm lại như hình sau để được khối hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất?


Giải

Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt. Ta có $0 < x < \frac{a}{2}$

Thể tích khối hộp là: $V\left( x \right) = x{\left( {a – 2x} \right)^2}$

Ta phải tim x trong khoảng $\left( {0;\frac{a}{2}} \right)$ để V(x) là lớn nhất.

Ta có $V’\left(x\right)=\left(a-2x\right)^2+2.x.\left(a-2x\right)\left(-2\right)$ $=\left(a-2x\right)\left(a-6x\right)$

$V’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{6};x = \frac{a}{2}(l)$

Bảng biến thiên

 

Từ bảng biến thiên ta thấy V(x) lớn nhất bằng \(\frac{2a^3}{27}\) khi x = a/6.

Ví dụ 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [-4; 4] là:

A.GTLN bằng 15; GTNN bằng 8                       

B. GTLN bằng 15; GTNN bằng -41

C.GTLN bằng 40; GTNN bằng -41                    

D. GTLN bằng 40; GTNN bằng 15

Đáp án: C.


Xem thêm: Các dạng toán về giá trị lớn nhất-nhỏ nhất.


Phần trước:  Lý thuyêt hàm số:  Cực tri hàm số

Phần tiếp theo: Lý thuyêt hàm số: Tiệm cận đồ thị hàm số.

Kiểm tra năng lực: Tìm Giá trị lớn nhất- nhỏ nhất của hàm số.

Translator-Dịch »