Lý thuyết hàm số: Đường Tiệm cận của đồ thị hàm số

Đăng bởi Hoanglien vào

I. Tiệm cận

1. Định nghĩa tiệm cận ngang

Đường thẳng \(y=y_0\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=y_0\) hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=y_0\) 

2. Định nghĩa tiệm cận đứng

  • Đường thẳng \(x=x_0\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:\(\lim\limits_{x\rightarrow x^+_0}f\left(x\right)=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow x^+_0}f\left(x\right)=-\infty;\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=+\infty​\)\(\lim\limits_{x-x^-_0}f\left(x\right)=-\infty\)

II. Qui tắc tìm các đường tiệm cận

1. Tìm tiệm cận ngang 

• Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=L\) ⇒TCN: y=L.

2. Tìm tiệm cận đứng.

  • Giải phương trình mẫu số=0 => Các nghiệm \(x_0\).
  • Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ \pm } f\left( x \right) = \pm \infty $ ⇒TCĐ: $x = {x_0}$.

III. Các dạng toán cơ bản

1. Dạng 1:  Tìm tiệm cận hàm không tham số

Ví dụ 1:

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :

\(f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+2}\)

Bài giải :

TXĐ: \(R\backslash\left\{2\right\}\)

Ta có \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)-\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x-1}{x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=2\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)-\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x-1}{x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=2\)

\(\Rightarrow y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị khi \(x\rightarrow-\infty\) và \(x\rightarrow+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^-}\frac{2x-1}{x+2}=-\infty\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^+}\frac{2x-1}{x+2}=+\infty\)

\(\Rightarrow x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị khi \(x\rightarrow\left(-2\right)^-\) và \(x\rightarrow\left(-2\right)^+\)

Ví dụ 2:

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số: $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 1}}$

Bài giải :

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}$

Ta có :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} – 2x + 1}}{{{x^2} – 1}} = 1$=> y=1 là tiệm cận Ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} \frac{{{x^2} – 2x + 1}}{{{x^2} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} \frac{{x – 1}}{{x + 1}} = 0$. vậy x=1 không là tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} – 2x + 1}}{{{x^2} – 1}} = \frac{4}{{{0^ – }}} = – \infty $

Và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} \frac{{{x^2} – 2x + 1}}{{{x^2} – 1}} = \frac{4}{{{0^ + }}} = + \infty $

 Suy ra: x=-1 là tiệm cận đứng.

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để \(x=x_0\) là đường tiệm cận của đồ thị (C) khi và chỉ khi \(x_0\) là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử.

2. Dạng 2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận

Ví dụ 3:

Cho hàm số \(y=\frac{mx+1}{2x-3}\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\).  Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng.

Bài giải :

Đồ thị  \(\left(C_m\right)\) có tiệm cận đứng khi và chỉ khi $\frac{3}{2} \ne \frac{-1}{m} \Leftrightarrow m \ne – \frac{2}{3}$

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=\frac{3}{2}\).

3. Dạng 3. Khoảng cách liên quan tới tiệm cận

Ví dụ 4:

Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{x-2}\) có đồ thị (C)

a. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc (C) đến 2 đường tiệm cận là một giá trị không đổi

b. Tìm điểm M thuộc (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

Bài giải

a. Ta có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = – 1

Gọi \(M\left(x_0;\frac{-x_0+1}{x_0-2}\right);x_0\ne2\)

Gọi \(d_1;d_2\) lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang thì: \(d_1d_2=\left|x_0-2\right|.\left|\frac{-1}{x_0-2}\right|=1\) (đpcm).

b. Ta có \(d_1+d_2=\left|x_0-2\right|+\left|\frac{-1}{x_0-2}\right|\ge2\)

Suy ra \(d_1+d_2\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left|x_0-2\right|=\left|\frac{-1}{x_0-2}\right|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=1\\x_0=3\end{array}\right.\)

Từ đó ta có các điểm cần tìm là \(M_1\left(1;0\right);M_2\left(3;-2\right)\)


Xem thêm: Chuyên đề tiệm cận đồ thị hàm số.


Phần trước: Lý thuyết hàm số: Giá trị lớn nhất-nhỏ nhất của hàm số

Phần tiếp theo: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ  thị hàm số

Kiểm tra năng lực: Phần tiệm cận

Translator-Dịch »