Lý thuyết: Diện tích giới hạn bởi nhiều đường cho trước

Đăng bởi Hoanglien vào

1.Diện tích giới hạn bởi hai đường cắt nhau.

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: S={ $y = {x^3} – x$; $y = x – {x^2}$}.

Lời giải

Xét phương trình: ${x^3} – x = x – {x^2}$ $ \Leftrightarrow $ x = –2, x = 0, x = 1

Khi đó: $S = \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} – 2{\rm{x}}} \right|} dx$

$ = \int\limits_{ – 2}^0 {\left| {{x^3} + {x^2} – 2{\rm{x}}} \right|} dx$

$ = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} + {x^2} – 2{\rm{x}}} \right|} dx$

$ = \frac{{37}}{{12}}$.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường cong cho trước.

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  ${\rm{S:\{ }}y = {x^2};y = 4x – 4;0x\} $

Giải

Gọi ${{\rm{S}}_1}{\rm{:\{ }}y = {x^2};0x;x = 0;x = 2\} $

${{\rm{S}}_2}{\rm{:\{ }}y = 4x – 4;0x;x = 1;x = 2\} $

Khi đó ta có: S=S1-S2

Có :${S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}} \right|} dx = \left| {\int\limits_0^2 {{x^2}dx} } \right| = \left| {\frac{{{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
0
\end{array}} \right.} \right| = \frac{8}{3}$

${S_2} = \int\limits_1^2 {\left| {4x – 4} \right|} dx = \left| {\int\limits_1^2 {(4x – 4)dx} } \right| = \left| {(2{x^2} – 4x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
1
\end{array}} \right.} \right| = 2$

Vậy $S = {S_1} – {S_2} = \frac{8}{3} – 2 = \frac{2}{3}$.

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng:  $S={\rm{\{ }}y = \sqrt x ; 0x; y = 2x – 2\} $

Giải

Gọi ${S_1} = {\rm{\{ }}y = \sqrt x ;0x;x = 0;x = 4\} $

${S_2} = {\rm{\{ }}y = 2x – 6;0x;x = 3;x = 4\} $

Khi đó: S=S1-S2.

Ta có: ${S_1} = \int\limits_0^4 {\left| {\sqrt x } \right|} dx = \left| {\int\limits_0^4 {{x^{\frac{1}{2}}}dx} } \right| = \left| {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
0
\end{array}} \right.} \right| = \frac{{16}}{3}$

${S_2} = \int\limits_3^4 {\left| {2x – 6} \right|} dx = \left| {\int\limits_3^4 {(2x – 6)dx} } \right| = \left| {({x^2} – 6x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
3
\end{array}} \right.} \right| = 1$

Vậy: $S = {S_1} – {S_2} = \frac{{13}}{3}$

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 8. Vẽ các cung tròn tâm A và C, bán kính bằng độ dài cạnh. Tính diện tích phần gạch chéo trong hình vẽ sau đây.

Giải

Cách 1: Diện tích 1/4 hình tròn tâm C, Bán kính CB là :${S_C} = \frac{1}{4}\pi {R^2} = \frac{1}{4}\pi {8^2} = 16\pi $

Diện tích tam giác vuông CBD là: ${S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{2}.CB.CD = \frac{1}{2}.8.8 = 32$

Suy ra: Diện tích hình quạt dây cung BD là: ${S_1} = {S_C} – {S_{\Delta BCD}} = 16(\pi – 2)$

Vậy diện tích cần tìm: $S = 2{S_1} = 32(\pi – 2)$

Cách 2: Phương pháp tích phân

Dựng hệ trục tọa độ sao cho: B(0;0); A(0;8); C(8;0).

Khi đó: Đường tròn  tâm C(8;0), bán kính bằng 8 phía trên có phương trình:(x-8)2+y2=64. suy ra cung tròn BD phía trên có phương trình:$y = \sqrt {16x – {x^2}} $.

Gọi ${S_C} = {\rm{\{ }}y = \sqrt {16x – {x^2}} ;0x;x = 0;x = 8{\rm{\} }}$

${S_C} = \int\limits_0^8 {\left| {\sqrt {16x – {x^2}} } \right|} dx =16\pi $

Diện tích tam giác vuông BCD bằng: BCxCD:2=32.

Khi đó $S1 = {S_C} – {S_{BCD}} = 16\pi – 32 $.

Do tính chất đối xứng nên S=2S1=$32\pi – 64$= $32(\pi – 2)$.

Lưu ý:

1.Ta dùng tính chất hình quạt tròn và diện tích tam giác là cách nhanh nhất để tính.

2. Phương pháp tích phân thường dùng để kiểm chứng. Giải bằng phương pháp tích phân nhằm định hướng vận dụng cho nhiều bài toán tính diện tích giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số khác. Khi đó ta thay cung tròn bằng các đồ thị hàm số theo yêu cầu bài toán.

Xem tiếp: Các bài toán về diện tích hình phẳng

 

Translator-Dịch »