Hàm số mũ

Đăng bởi Hoanglien vào

I. Định nghĩa và tính chất của hàm mũ

a) Định nghĩa hàm mũ

   Hàm số \(y=a^x\)  (a > 0, a \(\ne\) 1)được gọi là hàm số mũ cơ số a.

b) Đạo hàm của hàm số mũ

    \(\left(e^x\right)’=e^x\)  

    \(\left(a^x\right)’=a^x.\ln a\)

    \(\left(a^u\right)’=u’.a^u.\ln a\)

c) Tính chất

   khi a > 1 hàm số luôn đồng biến

   khi a < 1 hàm số luôn nghịch biến

II. Khảo sát hàm số mũ

Tách 2 trường hợp: \(a>1\) và \(0< a< 1\).

\(y=a^x\)  (\(\alpha>1\)) \(y=a^x\)  (\(0< a< 1\))
Tập xác định

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R}\)

Sự biến thiên \(y’=a^x.\ln a>0,\forall x>0\)

Giới hạn đặc biệt:

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}a^x=0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}a^x=+\infty\)

Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang

\(y’=a^x.\ln a< 0,\forall x>0\)

Giới hạn đặc biệt:

 \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}a^x=+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}a^x=0\)

Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang

Bảng biến thiên



Đồ thị

Đồ thị luôn đi qua (0;1)

Đồ thị luôn đi qua (0;1)

Chú ý: Đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\)\(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x},{\rm{ }}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) thì đối xứng với nhau qua trục tung.

B. Dạng toán cơ bản

Dạng 1. Tính đạo hàm hàm mũ

Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:  \(y = \sqrt {{e^x}} + {e^{3x + 1}} – {5^{\sqrt x }}\)

Giải

Ta có: \( \Rightarrow y = {e^{\frac{x}{2}}} + {e^{3x + 1}} – {5^{\sqrt x }}\) .

Vậy \(y’ = \frac{1}{2}{e^{\frac{x}{2}}} + 3{e^{3x + 1}} – {5^{\sqrt x }}.\ln 5.\frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:\(y = \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x}\)

Giải

Ta có: \( \Rightarrow y’ = (2x – 2){e^x} + ({x^2} – 2x + 2){e^x} = {x^2}{e^x}\)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của: \(y = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\)

Giải

\( \Rightarrow y’ = \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{{{e^x} – {e^{ – x}}}}\)

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất- nhỏ nhất của  hàm số mũ

Ví dụ 1:Tìm GTNN của hàm số \(y = {2^{x – 1}} + {2^{3 – x}}\)

Giải

Cách 1: Theo BĐT Cô-si có \({2^{x – 1}} + {2^{3 – x}} \ge 2\sqrt {{2^{x – 1}}{{.2}^{3 – x}}} = 4\) . Đẳng thức đạt được khi \({2^{x – 1}} = {2^{3 – x}} \Leftrightarrow x – 1 = 3 – x \Leftrightarrow x = 2\) . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(4\) khi \(x = 2\).

Cách 2: \(y’ = {2^{x – 1}}\ln 2 – {2^{3 – x}}\ln 2\) . \(y’ = 0 \Leftrightarrow x – 1 = 3 – x \Leftrightarrow x = 2\) . Lập bảng biến thiên được giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(4\) khi \(x = 2\).

Cách 3: Đặt \(t = {2^x} \Rightarrow t > 0\) . Khi đó \(y = \frac{t}{2} + \frac{8}{t},\;\;(t > 0)\) . Khảo sát hàm \(f(t)\) trên \((0; + \infty )\) được đáp số như trên.

Dạng 3. Tìm cực trị hàm số mũ

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {e^{ – {x^2} + 2x}}\)

Giải

Ta có \(y’ = {e^{ – {x^2} + 2x}}.( – 2x + 2)\) . Giải \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\) . Và dễ thấy \(y’\) đổi dấu từ \( + \) sang \( – \) qua \(x = 1\) tính từ trái qua phải nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại là \(y_{\text{CĐ}}=e\)

Dạng 4. So sánh các cơ số

Ví dụ : So sánh \(a,b,c\) từ các đồ thị các hàm số trong hình sau:

Giải

 Kẻ đường \(x = 1\) cắt các đồ thị tại các điểm có tung độ là \(a,b,c\) . suy ra: \(a > c > b\) .


Xem thêm: chuyên đề Hàm số mũ (Nâng cao).


Phần trước: Lô ga rit

Phần sau: hàm số Lo ga rit

Kiểm tra nâng lực: Hàm số mũ

 

Translator-Dịch »