Hàm số lũy thừa

Đăng bởi Hoanglien vào

I. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa: Hàm số \(y=f\left(x\right)=x^a\)  được gọi là hàm số lũy thừa.

  • Tập xác định:

           + D=\mathbb{R} nếu α là số nguyên dương.

           + D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0\} nếu α nguyên âm hoặc bằng 0.

           + D=(0;+∞) với α không nguyên.

• Đạo hàm : \(y’=a.x^{a-1}\).

+ Đạo hàm hàm hợp \(y=u^{\alpha}\) thì \(y=\alpha.u’.u^{\alpha-1}\))

• – Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞):

+  a > 0 : Hàm số luôn đồng biến.

 + a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến

II. Hàm số lũy thừa

Xét 2 trường hợp: \(\alpha>0\) và \(\alpha< 0\).

\(y=x^{\alpha}\) (\(\alpha>0\)) \(y=x^{\alpha}\) (\(\alpha< 0\))
Miền khảo sát \(\left(0;+\infty\right)\)

Chú ý: khi khảo sát với \(\alpha\) cụ thể, miền xác định có thể là R.

\(\left(0;+\infty\right)\)

Chú ý: khi khảo sát với \(\alpha\) cụ thể, miền xác định có thể là R.

Sự biến thiên \(y’=\alpha x^{\alpha-1}>0,\forall x>0\)

Giới hạn đặc biệt:

$\lim\limits_{x\rightarrow+0}x^{\alpha}=0$;

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^{\alpha}=+\infty$

Tiệm cận: không có

 

 

\(y’=\alpha x^{\alpha-1}>0,\forall x>0\)

Giới hạn đặc biệt:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^+}x^{\alpha}=+\infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = 0$

Tiệm cận: 

  -TCN: trục Ox

  – TCĐ: trục Oy

Bảng biến thiên





Đồ thị

Đồ thị luôn đi qua (1;1)

Đồ thị luôn đi qua (1;1)

III. Các dạng bài tập cơ bản

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số

A. Phương pháp

* Hàm số lũy thừa y={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }u(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{\alpha }}:

          + Xác định với mọi x\in \mathbb{R} nếu \alpha  nguyên dương.

          + Xác định với u(x)\ne 0 nếu \alpha  nguyên âm.

          + Xác định với u(x)>0 nếu \alpha  không nguyên.

B. Ví dụ

Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số f(x)={{(\frac{4x-3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x+1})}^{-\frac{2}{3}}} là

    A. \displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;-\frac{1}{2}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\frac{4}{3}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.                        B. (-\infty ;-1)\cup (-\frac{1}{2};0)\cup (\frac{4}{3};+\infty ).

    C. (-1;-\frac{1}{2})\cup (0;\frac{4}{3}).                         D. (-1;\frac{4}{3}).

Lời giải:

Hàm số xác định \Leftrightarrow \frac{4x-3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x+1}>0\Leftrightarrow x\in (-1;-\frac{1}{2})\cup (0;\frac{4}{3}).

Chọn C.

Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số f(x)={{({{x}^{2}}-3x+2)}^{-3}}-2\sqrt{x} là

    A. (0;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;2\}.                            B. \displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty ).

    C. \displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;2\}.                            D. \displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\}.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định

 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-3x+2\ne 0\\x\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne 2\\x\ne 1\\x\ge 0\end{array} \right.

Vậy tập xác định của hàm số là D=\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;2\}.

Chọn C.

Dạng 2. Tính đạo hàm 

A. Phương pháp

– Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp:

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3: Cho hàm số sau : $y = {\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 2}}$. Giải phương trình y’=0

Lời giải

Vì lũy thừa bằng -2 thuộc số nguyên, ta có:

ĐK: ${x^2} – 2x – 3 \ne 0 \Leftrightarrow x = – 1;x = 3$

=>TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { – 1;3} \right\}$

$y’ = – 2.{\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 3}}({x^2} – 2x – 3)’$ $ = – 2.{\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 3}}(2x – 2)$;$\forall x > 3$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow – 2.{\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 3}}(2x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Vậy phương trình y’=0 có nghiệm x=1.

Dạng 3. Đồ thị của hàm số lũy thừa

Ví dụ 4: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = {x^3}$.           B. $y = {x^{ – 1}}$.                 C. $y = {x^2}$.                    D. $y = {x^{ – \frac{3}{2}}}$.

Lời giải

Nhận thấy đồ thị của hàm số nằm bên phải 0y=>x>0.

Hàm số luôn nghịch biến nên α<0. Chọn D.

—–
Xem thêm: Chuyên đề lũy thừa
—–
Phần trước: Lũy thừa
Phần tiếp theo: Logarit
Kiểm tra năng lực phần: Hàm số lũy thừa.
Translator-Dịch »