GIỚI HẠN HÀM SỐ

Đăng bởi Hoanglien vào

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

  1. Giới hạn hữu hạn
  • Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số $y = f(x)$ xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0} và xn →x0 , ta có $\lim f({x_n}) = L$

  • Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (x0; b).

$limf(x) = L$ khi và chỉ khi dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$.

  • Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (a ; x0).

$limf(x) = L$ khi và chỉ khi dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$.

  • Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (a ; +∞).

$limf(x) = L$ khi và chỉ khi dãy số (xn) bất kì, xn > a và x→ +∞ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$.

  • Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (-∞ ; a).

$limf(x) = L$ khi và chỉ khi dãy số (xn) bất kì, xn < a và x→ -∞ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$.

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

  • Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (a ; +∞).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = – \infty $ khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có $limf({x_n}) = – \infty $

  • Cho khoảng  chứa điểm x0  và hàm số $y = f(x)$  xác định trên  hoặc trên 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = + \infty $ khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ 

Nhận xét: f(x) có giới hạn  khi và chỉ khi −f(x) có giới hạn .

3. Các giới hạn đặc biệt

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{x} = 0$ (c là hằng số)

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty $ , với k nguyên dương.

f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = – \infty $, với k là số lẻ

g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = + \infty $, với k là số chẵn

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M$, thì

  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) + g(x)} \right] = L + M$
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) – g(x)} \right] = L – M$
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M$
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}$

b) Nếu $f(x) \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$, thì $L \ge 0$ và $\sqrt {f(x)} = \sqrt L $

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi \(x_n\rightarrow +\infty\) hoặc \(x_n\rightarrow -\infty\).

Định lí 2.

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}\) f(x) = \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\).

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích \(f(x).g(x)\)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\frac{f(x)}{g(x)}\)

(Dấu của \(g(x)\) xét trên một khoảng \(K\) nào đó đang tính giới hạn, với \(x ≠ x_0\) ).


Trả lời

Translator-Dịch »