GIỚI HẠN HÀM SỐ-P2

Đăng bởi Hoanglien vào

B. BÀI TẬP

Bài 1. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 4}{lim}\frac{x+1}{3x – 2}\);

b) \(\underset{x \rightarrow +\infty }{lim}\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).

Giải

a) Hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{3x – 2}\) xác định trên \(\mathbb R\backslash \left\{ {{2 \over 3}} \right\}\) và ta có \(x = 4 \in \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)\)

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n ∈ \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)\); \(x_n≠ 4\) và \(x_n→ 4\) khi \(n \to  + \infty \)

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{x_{n} +1}{3x_{n} – 2} = \frac{4 + 1}{3. 4 – 2} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\) \(\frac{x +1}{3x – 2}\) = \(\frac{1}{2}\).

 

b) Hàm số \(f(x)\) = \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\) xác định trên \(\mathbb R\).

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n→ +∞\) khi \(n \to  + \infty \)

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}= \lim \frac{\frac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+\frac{3}{x^{2}_{n}}} = -5\)

Vậy \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3} = -5\)

 

Bài 2. Cho hàm số:

\(f(x) = \left\{ \matrix{ \sqrt x + 1 \text{ nếu   }x\ge 0 \hfill \cr 2x\text{ nếu   }x < 0 \hfill \cr} \right.\)

Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \frac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\frac{1}{n}\).

Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim (v_n)\).

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\) ?

Giải: 

Ta có \(\lim u_n\) =\(\lim \frac{1}{n}= 0\); \(\lim v_n= \lim (-\frac{1}{n}) = 0\).

Do ${u_n} = \frac{1}{n} > 0$ và ${v_n} = – \frac{1}{n} < 0$ với \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)

, nên \(f(u_n)= \sqrt{\frac{1}{n}}+1\) và \(f(v_n) = -\frac{2}{n}\).

Từ đó \( \lim f(u_n)= \lim (\sqrt{\frac{1}{n}}+ 1) = 1\); \(\lim f(v_n)= lim (-\frac{2}{n}) = 0\).

Vì \(u_n→ 0\) và \(v_n → 0\), nhưng \(\lim f(u_n) ≠  \lim f(v_n)\) nên hàm số \(y = f(x)\) không có giới hạn khi \(x → 0\)

 

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

 

a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\);

b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\);

d) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\);

e) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1}\);

f) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\) = \(\frac{(-3)^{2}-1}{-3 +1} = -4\).

b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\) = \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{ (2-x)(2+x)}{x + 2}\) = \(\underset{x\rightarrow -2}{lim} (2-x) = 4\).

c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{(\sqrt{x + 3}-3)(\sqrt{x + 3}+3 )}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{x +3-9}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}\) = \(\frac{1}{6}\).

d)  \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\) =  \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2-\frac{6}{x}}{\frac{4}{x}-1} = -2\).

e) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1} = 0\) vì \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\)  \((x^2+ 1) =\) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim} x^2( 1 + \frac{1}{x^{2}}) = +∞\).

f) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\) = \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2+\frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2}} +\frac{1}{x}} = -∞\), vì $\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} > 0$ với ∀x>0.

 

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}}\);

b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} (x – 2)^2= 0\) và ${(x – 2)^2} > 0$ với ∀x ≠ 2 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0$.

Do đó \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}} = +∞\).

b) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} (x – 1)=0\) và x1<0 với $\forall x < 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2x – 7) = 2.1 – 7 = – 5 < 0$.

Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}\frac{2x -7}{x-1} = +∞\).

c) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (x – 1) = 0\) và x-1>0 với ∀x > 1 và $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5$ <0.

Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}= -∞\).

 

Bài 6. Tính:

a)$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} – {x^2} + x – 1){\rm{ }}$

b)$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + 3{x^2} – 5)$

c)$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (\sqrt {{x^2} – 2x + 5} ){\rm{ }}$

d)$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{5 – 2x}}{\rm{ }}$

Giải :

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} – {x^2} + x – 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( {1 – \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}} – \frac{1}{{{x^4}}}} \right) = + \infty $

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + 3{x^2} – 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}\left( { – 2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{{{x^2}}}} \right) = + \infty $

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (\sqrt {{x^2} – 2x + 5} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } |x|\sqrt {1 – \frac{2}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} = + \infty $

d) $d)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{5 – 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right)}}{{5 – 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right)}}{{\frac{5}{x} – 2}} = – 1{\rm{ }}$

 

 


Trả lời

Translator-Dịch »