Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

Đăng bởi Hoanglien vào

1. Kiến thức cần nắm

a) Giả sử hàm số: $y = f(x)$ xác định trên D và  $f'(x) > 0$ (hoặc $f'(x) < 0$); $\forall x \in D$  thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Khi đó đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục 0x thì cắt tại duy nhất một điểm. Hoành độ giao điểm ${x_0}$ là nghiệm duy nhất của phương trình: $f(x) = 0$.

b) Giả sử hai hàm số: $y = f(x)$ luôn đồng biến trên D và $y = g(x)$ luôn nghịch biến (hoặc hàm hằng)  trên D. Nếu  hai đồ thị cắt nhau thì cắt nhau tại 1 điểm duy nhất và hoành độ giao điểm ${x_0}$ là nghiệm duy nhất của phương trình: $f(x) = g(x)$.

c) Nếu hàm số $f(t)$ đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) trênvà nếu $f(x) = f(y)$ thì  $x = y$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: ${3^x} = 5 – 2x$

Giải

Xét phương trình: ${3^x} = 5 – 2x$ $ \Leftrightarrow {3^x} + 2x – 5 = 0$

Đặt: $f(x) = {3^x} + 2x – 5$

$f'(x) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0;\forall x$. Suy ra hàm số đồng biến trên R.

Mặt khác: $f(1) = 0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x=1.

Ví dụ 2: Giải phương trình: ${5^x} = 7-2x$

Giải:

Xét phương trình: ${5^x} = 7-2x$ $ \Leftrightarrow {5^x} + 2x – 7 = 0$

Đặt: $f(x) = {5^x} + 2x – 7$

$f'(x) = {5^x}\ln 5 + 2 > 0;\forall x$. Suy ra hàm số đồng biến trên R.

Mặt khác: $f(1) = 0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x=1.

Ví dụ 3: Giải phương trình : ${7^{x – 1}} + 6x = {7^{y – 1}} + 6y = xy$

Giải

Xét hàm số: $f(t) = {7^{t – 1}} + 6t$ có $f'(t) = {7^{t – 1}}\ln 7 + 6 > 0;\forall t$. Suy ra hàm số đồng biến trên R.

Mặt khác: ${7^{x – 1}} + 6x = {7^{y – 1}} + 6y$ $ \Leftrightarrow f(x) = f(y)$

Suy ra: $x = y$

Từ đó ta lại có: ${x^2} = x \Leftrightarrow x = 1;x = 0$

Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm: x=y=1 hoặc x=y=0

3. Bài tập vận dụng

Bài tập: Giải các phương trình sau:

a. ${3^x} = 4 – x$

b. ${2^{x + 1}} = 5 – x$

c. ${3^x} + {4^x} = {5^x}$

d. ${2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {\left( {x – 1} \right)^2}$


Xem thêm:

Translator-Dịch »