Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ

Đăng bởi Hoanglien vào

Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ

Phương pháp:

Đặt: $u = {a^{f(x)}};v = {a^{g(x)}}$ từ đố đưa về hệ phương trình hai ẩn u;v.

Ví dụ 1: Giải phương trình:$\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{{{2^x}}}{{{2^x} + 2}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}$

Giải

Biến đổi phương trình về dạng:$\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{1}{{{2^{1 – x}} + 1}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}$.

Đặt: $u = {2^{x – 1}} + 1;v = {2^{1 – x}} + 1$. Điều kiện: $u > 0;v > 0$

Ta có: $u + v = u.v$. Khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{8}{u} + \frac{1}{v} = \frac{{18}}{{u + v}}}\\
{uv = u + v}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + 8v = 18}\\
{u + v = uv}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = v = 2}\\
{u = 9;v = \frac{9}{8}}
\end{array}} \right.$

*Với $u = v = 2$ ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^{x – 1}} + 1 = 2}\\
{{2^{1 – x}} + 1 = 2}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow x = 1$.

*Với ${u = 9;v = \frac{9}{8}}$ ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^{x – 1}} + 1 = 9}\\
{{2^{1 – x}} + 1 = \frac{9}{8}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow x = 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 1;x = 4$

Ví dụ 2: Giải phương trình: ${7^{x – 1}} = 6{\log _7}(6x – 5) + 1$

Giải

Đặt : $y – 1 = {\log _7}(6x – 5)   (1) $

Khi đó:

$Pt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{7^{x – 1}} = 6y – 5}\\
{y – 1 = {{\log }_7}(6x – 5)}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{7^{x – 1}} = 6y – 5}\\
{{7^{y – 1}} = 6x – 5}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow {7^{x – 1}} + 6x = {7^{y – 1}} + 6y$

Xét hàm số: $f(t) = {7^{t – 1}} + 6t$ có :$f'(t) = {7^{t – 1}}\ln 7 + 6 > 0;\forall t$.

suy ra: $f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$.

Thế vào (1) ta được:${7^{x – 1}} = 6x – 5$$ \Leftrightarrow {7^{x – 1}} – 6x + 5 = 0$

Xét hàm số: $f(x) = {7^{x – 1}} – 6x + 5$

có: $f'(x) = {7^{x – 1}}\ln 7 – 6$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 + \ln 6 – \ln (\ln 7)$${x_0}$

Bảng biến thiên:

vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=1 và x=2.


Xem thêm:

Translator-Dịch »