Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ

Phương pháp:

Đặt: $u = {a^{f(x)}};v = {a^{g(x)}}$ từ đố đưa về hệ phương trình hai ẩn u;v.

Ví dụ 1: Giải phương trình:$\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{{{2^x}}}{{{2^x} + 2}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}$

Giải

Biến đổi phương trình về dạng:$\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{1}{{{2^{1 – x}} + 1}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}$.

Đặt: $u = {2^{x – 1}} + 1;v = {2^{1 – x}} + 1$. Điều kiện: $u > 0;v > 0$

Ta có: $u + v = u.v$. Khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{8}{u} + \frac{1}{v} = \frac{{18}}{{u + v}}}\\
{uv = u + v}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + 8v = 18}\\
{u + v = uv}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = v = 2}\\
{u = 9;v = \frac{9}{8}}
\end{array}} \right.$

*Với $u = v = 2$ ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^{x – 1}} + 1 = 2}\\
{{2^{1 – x}} + 1 = 2}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow x = 1$.

*Với ${u = 9;v = \frac{9}{8}}$ ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^{x – 1}} + 1 = 9}\\
{{2^{1 – x}} + 1 = \frac{9}{8}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow x = 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 1;x = 4$

Ví dụ 2: Giải phương trình: ${7^{x – 1}} = 6{\log _7}(6x – 5) + 1$

Giải

Đặt : $y – 1 = {\log _7}(6x – 5)   (1) $

Khi đó:

$Pt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{7^{x – 1}} = 6y – 5}\\
{y – 1 = {{\log }_7}(6x – 5)}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{7^{x – 1}} = 6y – 5}\\
{{7^{y – 1}} = 6x – 5}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow {7^{x – 1}} + 6x = {7^{y – 1}} + 6y$

Xét hàm số: $f(t) = {7^{t – 1}} + 6t$ có :$f'(t) = {7^{t – 1}}\ln 7 + 6 > 0;\forall t$.

suy ra: $f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$.

Thế vào (1) ta được:${7^{x – 1}} = 6x – 5$$ \Leftrightarrow {7^{x – 1}} – 6x + 5 = 0$

Xét hàm số: $f(x) = {7^{x – 1}} – 6x + 5$

có: $f'(x) = {7^{x – 1}}\ln 7 – 6$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 + \ln 6 – \ln (\ln 7)$${x_0}$

Bảng biến thiên:

vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=1 và x=2.


Xem thêm:

Translator-Dịch »