Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Đăng bởi Hoanglien vào

1. Khái niệm: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn có nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ: $t = {a^{f(x)}} > 0$, phương trình đã cho còn một phần là biến cũ x, một phần là biến mới t.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:${9^x} + 2(x – 2){3^x} + 2x – 5 = 0$

Giải

Đặt: $t = {3^x} > 0$

Khi đó, phương trình có dạng: ${t^2} + 2(x – 2)t + 2x – 5 = 0$

Có: $\Delta ‘ = {(x – 2)^2} – (2x – 5) = {(x – 3)^2}$

Suy ra phương trình có nghiệm:  $t = – 1$ (loại) và $t = 5 – 2x$

Xét phương trình: ${3^x} = 5 – 2x$ $ \Leftrightarrow {3^x} + 2x – 5 = 0$

Đặt: $f(x) = {3^x} + 2x – 5$

$f'(x) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0;\forall x$. Suy ra hàm số đồng biến trên R.

Mặt khác: $f(1) = 0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x=1.

Ví dụ 2: Giải phương trình: ${25^x}-2\left( {3 – x} \right){5^x} + 2x-7 = 0$

Giải:

Đặt: $t = {5^x} > 0$

Khi đó, phương trình có dạng: ${t^2} – 2(3-x)t + 2x – 7 = 0$

Có: $\Delta ‘ = {(3-x)^2} – (2x – 7) = {(x – 4)^2}$

suy ra phương trình có nghiệm:  $t = – 1$ (loại) và $t = 7-2x$

Xét phương trình: ${5^x} = 7-2x$ $ \Leftrightarrow {5^x} + 2x – 7 = 0$

Đặt: $f(x) = {5^x} + 2x – 7$

$f'(x) = {5^x}\ln 5 + 2 > 0;\forall x$. Suy ra hàm số đồng biến trên R.

Mặt khác: $f(1) = 0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x=1.

3. Bài tập vận dụng

Bài tập: Giải các phương trình sau:

a. ${3.25^{x-2}} + \left( {3x – 10} \right){5^{x-2}} + 3-x = 0$

b. $8 – x{.2^x} + {2^{3 – x}} – x = 0$

c. ${9^x} – (5 – x){3^x} + 4 – x = 0$

d.${2^{2x + 2}} – (13 – x){2^{x + 1}} + 40 – 8x = 0$


Xem thêm:

Translator-Dịch »