Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ hoàn toàn

Đăng bởi Hoanglien vào

1. Khái niệm: Đặt ẩn phụ hoàn toàn nghĩa là sau khi đặt $t = {a^{f(x)}}$, Khi đó có thể đưa hết về phương trình theo ẩn t.

2. Một số dạng thường gặp:

Dạng 1: $a.{t^2} + bt + c = 0;(a \ne 0;a,b,c \in R)$ và $t = {y^{f(x)}}$

  • Phương pháp: Đặt: $t = {a^{f(x)}}$.

Dạng 2: $m.{a^{f(x)}} + n.{a^{ – f(x)}} + p = 0;(m \ne 0;m,n,p \in R)$

  • Phương pháp: Đặt: $t = {a^{f(x)}}$

Dạng 3:  $m.{a^{f(x)}} + n.{b^{ f(x)}} + p = 0$ trong đó: $a.b= 1$;$(m \ne 0;m,n,p \in R)$

  • Phương pháp:  Đặt: $t = {a^{f(x)}}$

Dạng 4: $m.{a^{2f(x)}} + n.{a^{f(x)}}.{b^{f(x)}} + p.{b^{2f(x)}} = 0;(m \ne 0;m,n,p \in R)$.

  • Phương pháp:  Đặt: $t = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f(x)}}$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

$a){2.16^x} – {15.4^x} – 8 = 0$

$b){2^{3x}} – {6.2^x} – \frac{1}{{{2^{3(x – 1)}}}} + \frac{{12}}{{{2^x}}} = 1$

Giải

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: ${2^{2{x^2} + 1}} – {9.2^{{x^2} + x}} + {2^{2x + 2}} = 0$

Lời giải:

 Chia cả 2 vế của phương trình cho \(2^{2x+2}\neq 0\) ta được:

${2^{2{x^2} – 2x – 1}} – {9.2^{2{x^2} – 2x – 2}} + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.2^{2{x^2} – 2x}} – \frac{9}{4}{.2^{2{x^2} – 2x}} + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2} – 2x}} – {9.2^{2{x^2} – 2x}} + 4 = 0$

Đặt: $t = {2^{2{x^2} – 2x}};t > 0$. Khi đó phương trình có dạng: $2{t^2} – 9t + 4 = 0$

$ \Leftrightarrow t = 4;t = \frac{1}{2}$

+) TH1: t= 4 <=> \(2^{x^{2}-x}=4 \Leftrightarrow x^{2}-x = 2\) <=> x = -1 ; x = 2

+) TH2: t = 1/2 <=> \(2^{x^{2}-x}=2^{-1}\Leftrightarrow x^{2}-x=-1\) <=> phương trình vô nghiệm

Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = -1; x = 2.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1. Giải phương trình: ${4^{{{\cot }^2}x}} + {2^{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}} – 3 = 0$. 

Giải. Điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,\,\,\,k \in \,$$\mathbb{Z}$.

Vì $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x$ nên phương trình đã cho được viết dưới dạng

${4^{{{\cot }^2}x}} + {2.2^{{{\cot }^2}x}} – 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Đặt $t = {2^{{{\cot }^2}x}}\,\,\,\,\left( {t \ge 1} \right)$ vì \[{\cot ^2}x \ge 0 \Leftrightarrow {2^{{{\cot }^2}x}} \ge {2^0} = 1.\]

Khi đó phương trình (1) có dạng

${t^2} + 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\ t = – 3\,\,\,\,\left( {loai} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow {2^{{{\cot }^2}x}} = 1$

$ \Leftrightarrow {\cot ^2}x = 0 \Leftrightarrow \cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,\,k \in $$\mathbb{Z}$ (thỏa mãn).

Bài 2. Giải phương trình ${\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + 16{\left( {3 – \sqrt 5 } \right)^x} = {2^{x + 3}}.$

Giải. Chia cả hai vế của phương trình cho 2ta được

${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + 16{\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 8$ (*)

Nhân xét rằng $\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right) = 1$, do đó

Đặt $t = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x},\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}.$

Khi đó phương trình (*) trở thành ${t^2} – 8t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( {tm} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 4 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}}4.$

Bài 3. (ĐHL-1998) Giải phương trình ${\left( {\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } \right)^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} + {\left( {\sqrt {7 – 4\sqrt 3 } } \right)^{\sin x}} = 4.$

Giải. Nhận xét rằng $\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\sqrt {7 – 4\sqrt 3 } = 1$, do đó

Đặt $t = {\left( {\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } \right)^{\sin x}},\,\,\,\left( {t > 0} \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {7 – 4\sqrt 3 } } \right)^{\sin x}} = \frac{1}{t}.$

Phương trình đã cho trở thành

$t + \frac{1}{t} = 4 \Leftrightarrow {t^2} – 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 2 – \sqrt 3 \\ t = 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Suy ra

hướng dẫn giải phương trình mũ

Bài 4.  Giải phương trình ${2^{2{x^2} + 1}} – {9.2^{{x^2} + x}} + {2^{2x + 2}} = 0$.

Giải. Chia cả hai vế phương trình cho ${2^{2x + 2}} \ne 0$ ta được

${2^{2{x^2} – 2x – 1}} – {9.2^{{x^2} – x – 2}} + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{2^{2{x^2} – 2x}} – \frac{9}{4}{2^{{x^2} – x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2} – 2x}} – {9.2^{{x^2} – x}} + 4 = 0.$

Đặt $t = {2^{{x^2} – x}},\,\,t > 0$ ta được

$2{t^2} – 9t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^{{x^2} – x}} = {2^{ – 2}}\\ {2^{{x^2} – x}} = {2^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 2 \end{array} \right..$

Translator-Dịch »